【世纪金榜】2016-2017学年人教版高中数学必修二精讲优练课件：第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.2.4

1、2.2.4 平面与平面平行的性质,【知识提炼】 直线与平面平行的性质定理,平行,ab,【即时小测】 1.思考下列问题: (1)两个平面平行,那么两个平面内的所有直线都相互平行吗? 提示:不一定.它们可能异面. (2)两个平面平行,其中一个平面内直线必平行于另一个平面吗? 提示:一定平行.因为两个平面平行,则两个平面无公共点,则其中一个平面内的直线必和另一个平面无公共点,因而它们平行.,2.平面与圆台的上、下底面分别相交于直线m,n,则m,n的位置关系是 ( ) A.平行 B.相交 C.异面 D.平行或异面 【解析】选A.因为圆台的上、下底面互相平行,所以由平面与平面平行的性质定理可知mn.,3.五棱柱的底面为和,且A,B,C,D,且ADBC,则AB与CD的位置关系为 ( ) A.平行 B.相交 C.异面 D.无法判断 【解析】选A.因为棱柱的两个底面互相平行,所以. 因为ADBC,所以A,B,C,D四点共面. 因为平面ABCD平面=AB,平面ABCD平面=CD. 所以ABCD.,4.过正方体ABCD-A1B1C1D1的三顶点A1,C1,B的平面与底面ABCD所在的平面的交线为l,则l与

2、A1C1的位置关系是 . 【解析】因为A1C1平面ABCD,A1C1平面A1C1B,平面ABCD平面A1C1B=l,由线面平行的性质定理,知A1C1l. 答案:平行,【知识探究】 知识点 平面与平面平行的性质定理 观察图形,回答下列问题:,问题1:观察上图,其中平面,=a,=b.思考直线a与b的位置关系? 问题2:两个平面平行有哪些常见结论?,【总结提升】 1.解读平面与平面平行的性质定理 (1)两个平面平行的性质定理揭示了“两个平面平行之后它们具有什么样的性质”.该性质定理可以看作直线与直线平行的判定定理.可简述为“若面面平行,则线线平行”.,(2)用该定理判断直线a与b平行时,必须具备三个条件: 平面和平面平行,即; 平面和相交,即=a; 平面和相交,即=b. 以上三个条件缺一不可. (3)在应用这个定理时,要防止出现“两个平面平行,则一个平面内的直线平行于另一个平面内的一切直线”的错误.,2.两个平面平行的一些常见结论 (1)如果两个平面平行,那么在一个平面内的所有直线都与另一个平面平行. (2)如果一条直线和两个平行平面中的一个相交,那么它也和另一个平面相交. (3)夹在两个平

3、行平面间的所有平行线段相等.,【题型探究】 类型一 平面与平面平行性质定理的应用 【典例】如图,已知平面,P且P,过点P的直线m与,分别交于A,C,过点P的直线n与,分别交于B,D,且PA=6,AC=9,PD=8,求BD的长.,【解题探究】典例中平面与平面平行的性质定理的作用是什么?关于三角形一边的平行线有哪些性质? 提示:(1)由推导ABCD.(2)平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.,【解析】因为ACBD=P, 所以经过直线AC与BD可确定平面PCD, 因为,平面PCD=AB,平面PCD=CD,所以ABCD.所以 ,即 .所以BD= .,【延伸探究】 1.(变换条件)将典例改为:若点P在平面,之间(如图),其他条件不变,试求BD的长.,【解析】与典例同理可证ABCD. 所以 ,即 ,所以BD=24.,2.(变换条件,改变问法)将典例改为:已知三个平面,满足 ,直线a与这三个平面依次交于点A,B,C,直线b与这三个平面 依次交于点E,F,G.求证: .,【证明】连接AG交于H,连接BH,FH,AE,CG. 因为,平面ACG=BH.平

4、面ACG=CG, 所以BHCG.同理AEHF, 所以 .,【方法技巧】应用平面与平面平行性质定理的基本步骤,【补偿训练】如图所示,A1B1C1D1-ABCD是四棱台,求证:B1D1BD.,【证明】根据棱台的定义可知,BB1与D D1相交, 所以BD与B1D1共面. 又因为平面ABCD平面A1B1C1D1, 且平面BB1D1D平面ABCD=BD, 平面BB1D1D平面A1B1C1D1=B1D1, 所以B1D1BD.,类型二 线线、线面、面面平行的转化 【典例】如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为等腰梯形,AB CD,AB=2CD,E,E1分别是棱AD,AA1上的点.设F是棱AB的中点,证明:直线 EE1平面FCC1.,【解题探究】根据平面与平面平行的性质,要证明直线EE1平面FCC1,可以如何进行转化? 提示:根据平面与平面平行的性质,要证明直线EE1平面FCC1,可以转化为证明直线EE1所在的平面与平面FCC1平行.,【证明】因为F为AB的中点,所以AB=2AF 又因为AB=2CD,所以CD=AF, 因为ABCD,所以CDAF, 所以四边形AFCD为平行四边形,

5、所以FCAD,又FC平面ADD1A1, AD平面ADD1A1, 所以FC平面ADD1A1,因为CC1DD1,CC1平面ADD1A1, DD1平面ADD1A1, 所以CC1平面ADD1A1,又FCCC1=C, 所以平面ADD1A1平面FCC1. 又EE1平面ADD1A1, 所以EE1平面FCC1.,【延伸探究】 1.(变换条件,改变问法)将典例改为:如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F是棱C1D1,A1D1的中点,求证:AF平面BDE.,【证明】如图,连接EF,AC,ACBD=G,显然四边形EFAG为平行四边形,所以AFEG, 又因为AF平面BDE,EG平面BDE, 所以AF平面BDE.,2.(变换条件,改变问法)将典例改为:如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E是BC的中点,M,N分别是AE,CD1的中点.求证:MN平面ADD1A1.,【证明】如图所示,取CD的中点K,连接MK,NK. 因为M,N,K分别为AE,CD1,CD的中点, 因为MKAD,NKDD1, 所以MK平面ADD1A1, NK平面ADD1A1. 而NK与MK相交, 所以平面MNK平面ADD1

6、A1.,因为MN平面MNK, 所以MN平面ADD1A1.,【方法技巧】 1.空间中各种平行关系相互转化关系的示意图,2.证明直线与直线平行的方法 (1)平面几何中证明直线平行的方法.如同位角相等,两直线平行;三角形中位线的性质;平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行等. (2)公理4. (3)线面平行的性质定理. (4)面面平行的性质定理.,3.证明直线与平面平行的方法 (1)线面平行的判定定理. (2)两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.,【补偿训练】如图,矩形ABCD和梯形BEFC有公共边BC,BECF,求证:AE平面DCF.,【证明】因为四边形ABCD是矩形,所以ABCD, 又因为AB平面DCF,CD平面DCF, 所以AB平面DCF,同理,BE平面DCF, 因为ABBE=B, 所以平面ABE平面DCF,又因为AE平面ABE. 所以AE平面DCF.,规范解答 平行关系的转化与应用 【典例】(12分)如图,几何体E-ABCD是四棱锥,ABD为正三角形,CB= CD,BCD=120,M为线段AE的中点, 求证:DM平面BEC.,【审题指导】(1)由ABD为正三角

7、形,可考虑求角和等腰三角形“三线合一”的性质. (2)由CB=CD,BCD=120可考虑求BCD的内角;由M为线段AE的中点可考虑作ABD的中位线.,【规范解答】取线段AB的中点N,连接MN,DN,(如图) 1分 因为M,N分别是AE,AB的中点,所以MN是ABE的中位线, 所以MNBE,2分 又MN平面BEC,BE平面BEC, 所以MN平面BEC.3分,因为ABD是等边三角形,N是线段AB的中点, 所以NDAB,4分 因为CB=CD,BCD=120, 所以CBD=30,5分 所以ABC=60+30=90, 所以BCAB,6分 所以NDBC,8分,又ND平面BEC,BC平面BEC, 所以ND平面BEC,9分 又MNND=N, 所以平面MND平面BEC,10分 因为直线DM平面MND, 所以DM平面BEC.12分,【题后悟道】 1.根据题目条件,恰当选取证明方法 选择恰当的方法,巧妙将条件和结论联系起来是证明立体几何问题的关键.例如本题,证明线面平行,若考虑用线面平行的判定定理,则作辅助线的难度较大,而且容易出现取BE的中点F,连接CF,证明DMCF的错误.,2.重视平面几何知识的应用 证明平行关系问题时,最终总要归结为平面内证明线线平行问题.因此要注意平面内证明线线平面的方法.如本题中,由NDAB,BCAB证明NDBC. 3.重视关键点处的突破 解题时,分析题目条件和结论形成“思维链”是解题的关键.如本例中证明BCAB是打通”思维链”的关键.,

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