【专题通关攻略 世纪金榜】2017届高三数学（文）二轮（新课标）专题复习课件：1.6.2圆锥曲线的概念与性质、与弦有关的计算问题

1、第二讲 圆锥曲线的概念与性质、与弦有关 的计算问题,【知识回顾】 1.圆锥曲线的定义式 (1)椭圆:|PF1|+|PF2|=2a(2a|F1F2|); (2)双曲线:|PF1|-|PF2|=2a(2a|F1F2|); (3)抛物线:|PF|=|PM|,点F不在直线l上,PMl于M(l为抛物线的准线方程).,2.圆锥曲线的重要性质 (1)椭圆、双曲线中a,b,c之间的关系: 在椭圆中:_;离心率为 在双曲线中:_;离心率为,a2=b2+c2,c2=a2+b2,(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标: 双曲线 =1(a0,b0)的渐近线方程为_; 焦点坐标F1_,F2_; 双曲线 =1(a0,b0)的渐近线方程为_, 焦点坐标F1_,F2_.,(-c,0),(c,0),(0,-c),(0,c),(3)抛物线的焦点坐标与准线方程: 抛物线y2=2px(p0)的焦点坐标为_,准线方 程为_; 抛物线x2=2py(p0)的焦点坐标为_,准线方 程为_.,3.弦长问题 (1)直线与圆锥曲线相交时的弦长 设而不求,利用根与系数的关系,进行整体代入.即当斜 率为k,直线与圆锥曲线交于A(x1,y1),B(

2、x2,y2)时,(2)过抛物线焦点的弦长 抛物线y2=2px(p0)过焦点F的弦AB,若A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1x2= ,y1y2=-p2,弦长|AB|=_.,x1+x2+p,【易错提醒】 1.忽略条件致误:应用圆锥曲线定义解题时,易忽视定义中的条件导致错误. 2.忽略焦点的位置致误:当焦点位置没有明确给出时应对焦点位置进行分类讨论,椭圆、双曲线有两种情况,抛物线有四种情况.,3.混淆a,b,c的关系致误:在椭圆中a2=b2+c2,在双曲线中c2=a2+b2,在使用时谨防张冠李戴. 4.注意隐含条件:圆锥曲线上点的横坐标、纵坐标是有范围的,在涉及求最值或范围问题时可能要用到.,【考题回访】 1.(2016全国卷)直线l经过椭圆的一个顶点和一个 焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的 ,则该椭圆 的离心率为 ( ),【解析】选B.设椭圆的标准方程为 (ab0), 右焦点F(c,0),则直线l的方程为 即bx+cy-bc=0, 由题意可知 又a2=b2+c2,得b2c2= b2a2, 所以,2.(2016全国卷)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线 y= (k0)与C

3、交于点P,PFx轴,则k= ( ),【解析】选D.因为抛物线方程是y2=4x,所以F(1,0). 又因为PFx轴, 所以P(1,2),把P点坐标代入曲线方程y= (k0), 即 =2,所以k=2.,3.(2016天津高考)已知双曲线 =1(b0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D四点,四边形ABCD的面积为2b,则双曲线的方程为 ( ),【解析】选D.,渐近线OB: 所以x0=1,所以 所以 所以b2=12, 所以,4.(2014全国卷)已知抛物线C:y2=x的焦点为F, A(x0,y0)是C上一点,|AF|= x0,则x0= ( ) A.1 B.2 C.4 D.8 【解析】选A.根据抛物线的定义可知|AF|=x0+ 解得x0=1.,5.(2014全国卷)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且 倾斜角为30的直线交C于A,B两点,则|AB|= ( ) A. B.6 C.12 D.7,【解析】选C.设|AF|=2m,|BF|=2n, 则由抛物线 的定义和直角三角形知识可得, 2m=2 2n=2 解得 所以m+n=6. |AB|=|AF|

4、+|BF|=2m+2n=12.故选C.,热点考向一 圆锥曲线的定义、标准方程与性质 命题解读:主要考查圆锥曲线的定义、标准方程和离心率、渐近线等性质,以选择题、填空题为主.,【典例1】(1)(2016承德一模)已知抛物线C:y2=8x的 焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交 点,若 则|QF|= ( ),(2)(2016郑州二模)经过点(2,1),且渐近线与圆x2+(y-2)2=1相切的双曲线的标准方程为 ( ),(3)(2016福州一模)已知椭圆 (ab0)的左 右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线与椭圆交于A,B两点, 若F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形,则椭圆 的离心率为 ( ),【解题导引】(1)先由向量的线性关系及相似三角形的性质,确定线段间的比例关系,再根据抛物线的定义求解线段长度. (2)先求双曲线的渐近线方程,根据渐近线方程判断焦点的位置,然后列方程组求解. (3)根据F1AB的周长为4a,把AF1,AF2用a表示,再根据勾股定理找出a,c满足的关系式.,【规范解答】(1)选B.如图所示,因为 所以 过点Q作QMl,垂足为M, 则MQx轴

5、,所以 所以|MQ|=3, 由抛物线定义知|QF|=|QM|=3.,(2)选A.设双曲线的渐近线方程为y=kx,即kx-y=0,由题 意知 解得k= , 则双曲线的焦点在x轴,设双曲线方程为 所以,所求方程为,(3)选D.设|F1F2|=2c,|AF1|=m, 若F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形, 所以|AB|=|AF1|=m,|BF1|= m. 由椭圆的定义可知F1AB的周长为4a, 所以4a=2m+ m,m=2(2- )a. 所以|AF2|=2a-m=(2 -2)a.,因为|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2, 所以4(2- )2a2+4( -1)2a2=4c2, 所以e2=9-6 ,e=,【母题变式】 1.本例(3)中若椭圆改为双曲线 (a0,b0)过 F2的直线与双曲线交于A,B两点,其他条件不变,则双曲 线离心率e2的值为_.,【解析】如图所示: 因为|AF1|-|AF2|=2a,|BF1|-|BF2|=2a, |BF1|=|AF2|+|BF2|, 所以|AF2|=2a,|AF1|=4a. 所以|BF1|=2 a,|BF2|=2 a-2a. 因为|F1F2|2=

6、|BF1|2+|BF2|2,所以(2c)2=(2 a)2+(2 a-2a)2, 所以e2=5-2 . 答案:5-2,2.在本例(3)中若条件变为“在双曲线 (a0,b0)中,A1,A2是左、右顶点,F是右焦点,B是虚轴的上端点,若在线段BF上存在点P,使得PA1A2构成以A1A2为斜边的直角三角形”,试求双曲线离心率e的取值范围.,【解析】由题意知以线段A1A2为直径的圆和线段BF有公共点,则原点到直线BF的距离小于或等于a, 又直线BF的方程为 即bx+cy-bc=0, 所以 整理得a4-3a2c2+c40, 即e4-3e2+10,解得 又e1,所以1e,【规律方法】 1.椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法 求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围,关键是根据 已知条件确定a,b,c的等量关系或不等关系,然后把b用 a,c代换,求 的值.,2.双曲线的渐近线的求法及用法 (1)求法:把双曲线标准方程等号右边的1改为零,分解因式可得. (2)用法:可得 的值. 利用渐近线方程设所求双曲线的方程.,3.焦点三角形的作用 借助焦点三角形能很好地将定义式与三角形中的边角关系式构建方程组,便于

7、解决问题.,【题组过关】 1.(2016全国卷)已知O为坐标原点,F是椭圆C: (ab0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点. P为C上一点,且PFx轴.过点A的直线l与线段PF交于点 M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率 为 ( ),【解析】选A.由题意可知直线AE的斜率存在,设为k,直 线AE的方程为y=k(x+a),令x=0可得点E坐标为(0,ka), 所以OE的中点H坐标为 又右顶点B(a,0),所以可得 直线BM的斜率为- ,可设其方程为y=- x+ a,联立 可得点M横坐标为- ,又点M的横坐标和 左焦点相同,所以- =-c,所以e= .,2.(2016合肥二模)已知抛物线y2=2px(p0)上一点M到焦点F的距离等于2p,则直线MF的斜率为 ( ),【解析】选A.设M(x0,y0),由题意x0+ =2p, 则x0= ,从而y02=3p2,【加固训练】 1.已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一 个公共点,且F1PF2= ,则椭圆和双曲线的离心率的 倒数之和的最大值为 ( ),【解析】选A.设|PF1|=m,|PF2|=n,F1F2=2

8、c且mn,则椭 圆与双曲线离心率的倒数和为 由余弦定理4c2=m2+n2-2mncos =m2+n2-mn. 即n2-mn+m2-4c2=0,关于n的一元二次方程有解, =m2-4(m2-4c2)0,故16c23m2,2.已知椭圆C1: 与双曲线C2: 有相 同的焦点,则椭圆C1的离心率e的取值范围为 ( ),【解析】选A.因为椭圆C1: 与双曲线C2: 有相同的焦点,所以m0,n0. 且m+2-(-n)=m-n,解得n=-1. 所以椭圆C1的离心率e= 又e1,所以椭圆C1的离心率e的取值范围为,3.已知抛物线y2=2px的焦点F与双曲线 =1的右焦 点重合,抛物线的准线与x轴的交点为K,点A在抛物线上 且|AK|= |AF|,则AFK的面积为( ) A.4 B.8 C.16 D.32,【解析】选D.因为抛物线y2=2px的焦点F与双曲线 =1的右焦点重合,所以p=8.设A(m,n), 又|AK|= |AF|,所以m+4=|n|, 又n2=16m,解得m=4,|n|=8, 所以AFK的面积为S= 88=32.,4.设F是双曲线C: 的一个焦点,若C上存在点P,使线段PF的中点恰为其虚

9、轴的一个端点,则C的离心率为_.,【解析】根据对称性,不妨设F(c,0),短轴端点为(0,b),从而可知点(-c,2b)在双曲线上, 所以 答案:,热点考向二 圆锥曲线与圆、直线的综合 命题解读:主要考查直线与圆锥曲线的位置关系以及圆锥曲线与圆相结合时处理问题的能力.,【典例2】(1)(2016平顶山二模)已知点E(-,0) (0),动点A,B均在抛物线C:y2=2px(p0)上,若 的最小值为0,则的值为 ( ) A. B.0 C.p D.2p,(2)(2016承德二模)已知椭圆C: (ab0)的 离心率为 且过点 求椭圆C的方程; 设与圆O:x2+y2= 相切的直线l交椭圆C于A,B两点, 求OAB面积的最大值及取得最大值时直线l的方程.,【解题导引】(1)根据 的最小值为0知,AEB的 最大值为90,此时直线EA,EB均与抛物线相切,且直线 EA,EB的斜率分别为1和-1. (2)直接列方程组求a,b的值;分直线l的斜率存在 与不存在两种情况求解,当斜率存在时,求OAB面积的 最大值,实际上是求的最大值.,【规范解答】(1)选A.当 的最小值为0时,直线 EA,EB相互垂直且都与抛物线相切,根据抛物线的对称 性不妨令直线EA的方程为y=x+, 由 得y2-2py+2p=0, 则=4p2-8p=0,解得= .,(2)由题意可得: a2=3,b2=1,所以 +y2=1.,()当直线l的斜率k不存在时,x= , 所以y= ,所以|AB|= .又圆半径为 . 所以SOAB=,()当直线l的斜率k存在时, 设直线l方程为y=kx+m, A(x1,y1),B(x2,y2), (1+3k2)x

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