【专题通关攻略 世纪金榜】2017届高三数学（文）二轮（新课标）专题复习课件：1.4.1等差数列、等比数列

1、第一讲 等差数列、等比数列,【知识回顾】 1.等差数列 (1)通项公式:an=_=am+_. (2)等差中项公式:2an=_(nN*,n2). (3)前n项和公式:Sn=_=_.,a1+(n-1)d,(n-m)d,an-1+an+1,(4)性质(n,m,l,k,p均为正整数): 若m+n=l+k,则am+an=_(反之不一定成立);特别 地,当m+n=2p时,有am+an=_; 若an、bn是等差数列,则kan+tbn(k、t是非零 常数)是等差数列;,al+ak,2ap,等差数列的“依次每m项的和”即Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,仍是等差数列.,2.等比数列 (1)等比数列的通项公式:an=_=_. (2)等比中项公式:an2 =_(nN*,n2). (3)等比数列的前n项和公式: Sn=,_(q=1)， _=_,(q1).,a1qn-1,amqn-m,an-1an+1,na1,(4)性质(n,m,l,k,p均为正整数): 若m+n=l+k,则aman=_(反之不一定成立); 特别地,当m+n=2p时,有aman=_; 当n为偶数时, =q(公比); Sm,S2m-Sm,S3m

2、-S2m,(Sm0)成等比数列.,alak,ap2,【易错提醒】 1.忽略条件致误:应用公式an=Sn-Sn-1时忽略其成立的条件n2,nN*. 2.不能准确掌握数列的单调性致误:等差数列的单调性只取决于公差d的正负,等比数列的单调性既要考虑公比q,又要考虑首项.,3.忽略对公比的讨论致误:求等比数列的前n项和时,一定要先讨论公比q是否为1,然后选用相应的公式求解. 4.注意隐含条件:利用二次函数求an或Sn的最值时,易忽略条件nN*.,【考题回访】 1.(2016全国卷)已知等差数列an前9项的和为27,a10=8,则a100= ( ) A.100 B.99 C.98 D.97,【解析】选C.方法一:由题意可知, 解得a1=-1,d=1,所以a100=-1+991=98. 方法二:由等差数列性质可知: S9= =9a5=27,故a5=3, 而a10=8,因此公差d= =1, 所以a100=a10+90d=98.,2.(2015全国卷)设Sn是等差数列an的前n项和,若a1+a3+a5=3,则S5= ( ) A.5 B.7 C.9 D.11,【解析】选A.a1+a3+a5=3a3=3a

3、3=1,S5= =5a3=5.,3.(2014全国卷)等差数列an的公差为2,若a2, a4,a8成等比数列,则an的前n项和Sn= ( ) A.n(n+1) B.n(n-1) C. D.,【解析】选A.因为d=2,a2,a4,a8成等比,所以a42=a2a8, 即(a2+2d)2=a2(a2+6d),解得a2=4,a1=2.所以利用等差数列的求和公式可求得Sn=n(n+1).,4.(2016江苏高考)已知an是等差数列,Sn是其前n项和.若a1+a22=-3,S5=10,则a9的值是_.,【解析】设等差数列的公差为d,则由S5=10得a3=2,因为a1+a22=-3,所以(2-2d)+(2-d)2=-3,整理解得d=3,所以a9=a3+6d=2+18=20. 答案:20,5.(2015全国卷)数列an中,a1=2,an+1=2an,Sn为an的前n项和,若Sn=126,则n=_.,【解析】因为an+1=2an,所以数列an是首项a1=2,公比q=2的等比数列,由Sn=126,可得n=6. 答案:6,热点考向一 等差(比)数列的基本运算 命题解读:主要考查利用等差、等比数列的通项公式、

4、前n项和公式,在这两种数列中的五个基本量的“知三求二”运算以及求最值,以选择题、填空题为主.,【典例1】(1)(2015全国卷)已知an是公差为1的 等差数列,Sn为an的前n项和,若S8=4S4,则a10=( ) A. B. C.10 D.12,(2)(2016全国卷)设等比数列an满足a1+a3=10, a2+a4=5,则a1a2an的最大值为_.,【解题导引】(1)依据等差数列的通项公式及前n项和公式求解. (2)先利用等比数列的通项公式构建首项a1与公式q的方程组,求出a1,q,得到an的通项公式,再将a1a2 an表示为n的函数,进而求最大值.,【规范解答】(1)选B.设等差数列的首项为a1,则 S8=8a1+ =8a1+28, S4=4a1+ =4a1+6, 因为S8=4S4,即8a1+28=16a1+24, 所以a1= ,则a10=a1+(10-1)d=,(2)由于an是等比数列,设an=a1qn-1,其中a1是首项,q是公比. 所以a1a2an=,当n=3或4时, 取到最小值-6, 此时 取到最大值26. 所以a1a2an的最大值为64. 答案:64,【规律方法】等差(

5、比)数列基本运算的解题思路 (1)设基本量a1和公差d(公比q). (2)列、解方程组:把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组),然后求解,注意整体计算,以减少运算量.,【题组过关】 1.(2016吕梁一模)已知Sn是公差不为0的等差数列 an的前n项和,且S1,S2,S4成等比数列,则 等于 ( ) A.4 B.6 C.8 D.10,【解析】选C.设公差为d,则S1=a1,S2=2a1+d,S4=4a1+6d, 因为S1,S2,S4成等比数列,所以S22=S1S4,即(2a1+d)2= a1(4a1+6d),解得d=0(舍去)或d=2a1,所以,2.(2016邯郸一模)设an是首项为a1,公差为-1的等 差数列,Sn为其前n项和,若S1,S2,S4成等比数列,则a1= ( ) A.2 B.-2 C. D.-,【解析】选D.因为S1,S2,S4成等比数列,所以S22=S1S4, 即(a1+a1-1)2=a1 ,解得a1=- .,3.已知数列an中,a1=1,an=an-1+ (n2),则数列an 的前9项和等于_.,【解析】当n2时,an=an-1+ 且a2=a1+ ,所以an是 首

6、项为1,公差是 的等差数列,所以S9=91+ =9+18=27. 答案:27,【加固训练】 1.等差数列an的前n项和Sn,若a1=2,S3=12,则a6=( ) A.8 B.10 C.12 D.14 【解析】选C.由题意得, 解得 所以a6=a1+5d=12.,2.(2016重庆一模)在等差数列an中,a1=2,a3+a5=10, 则a7= ( ) A.5 B.8 C.10 D.14 【解析】选B.设公差为d,因为a1=2,所以a3+a5=2+2d+2+4d=4+6d=10,解得d=1, 所以a7=a1+6d=2+6=8.,3.(2016唐山二模)设x,y,z是实数,若9x,12y,15z成 等比数列,且 成等差数列,则 =_.,【解析】由题意知 解得 从而 答案:,热点考向二 等差(比)数列的性质 命题解读:主要考查利用性质求解基本量及前n项和的最值问题,以选择题、填空题为主.,【典例2】(1)(2016长沙一模)等差数列an中,若a4+a6+a8+a10+a12=120,则S15的值为 ( ) A.180 B.240 C.360 D.720,(2)(2016开封一模)设等比数列a

7、n的前n项和为Sn,若Sm-1=5,Sm=-11,Sm+1=21,则m= ( ) A.3 B.4 C.5 D.6,【解题导引】(1)利用等差数列的性质及前n项和公式求解. (2)根据等比数列的通项公式和前n项和公式,建立方程组即可解得m的值.,【规范解答】(1)选C.因为数列an是等差数列,所以 a4+a6+a8+a10+a12=5a8,又因为a4+a6+a8+a10+a12=120,所 以5a8=120,S15= =15a8=3120=360.,(2)选C.在等比数列中,因为Sm-1=5,Sm=-11,Sm+1=21, 所以am=Sm-Sm-1=-11-5=-16,am+1=Sm+1-Sm=21-(-11)=32, 则公比q= =-2, 因为Sm=-11, 所以 =-11, 又am+1=a1(-2)m=32, 两式联立解得m=5,a1=-1.,【规律方法】等差、等比数列性质问题的求解策略 (1)解题关键:抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系,从这些特点入手选择恰当的性质进行求解. (2)运用函数性质:数列是一种特殊的函数,具有函数的一些性质,如单调性、周期性等,可利用函数的性质解

8、题.,【题组过关】 1.(2016太原一模)在等差数列an中,有3(a3+a5)+ 2(a7+a10+a13)=48,则此数列的前13项和为 ( ) A.24 B.39 C.52 D.104,【解析】选C.因为3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=48, 利用等差数列的性质可得6a4+6a10=48, 所以a1+a13=a4+a10=8, 所以S13= =52.,2.设等差数列的公差为d,若数列 为递减数列, 则 ( ) A.d0 B.d0 D.a1d0,【解析】选D.由于数列 为递减数列,得 再由指数函数性质得a1ana1an-1,由等差数列的公差为d 知,an-an-1=d,所以a1ana1an-1,a1an-a1an-10,所以 a1(an-an-1)0,即a1d0.,3.等比数列an的各项均为正数,且a1a5=4,则log2a1+ log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=_.,【解析】方法一:各项均为正数的等比数列an中, a1a5=a2a4=a32=4,则a1a2a3a4a5=25, log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5

9、=log2a1a2a3a4a5 =log225=5. 答案:5,方法二:各项均为正数的等比数列an中, a1a5=a2a4=a32=4, 设log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=S, 则log2a5+log2a4+log2a3+log2a2+log2a1=S, 2S=5log2(a1a5)=10,S=5. 答案:5,【加固训练】 1.等比数列an的各项均为正数,且a5a6+a4a7=18,则log3a1+log3a2+log3a10= ( ) A.12 B.10 C.8 D.2+log35,【解析】选B.由题意可知a5a6=a4a7,又a5a6+a4a7=18 得a5a6=a4a7=9, 而log3a1+log3a2+log3a10=log3(a1a2a10) =log3(a5a6)5=log3(9)5=log3310=10.,【母题变式】 1.若把本题中的条件“a5a6+a4a7=18“变为“a5a6+a4a7 +a3a8=18”,其他条件不变,求log3a1+log3a2+ log3a10的值.,【解析】由题意可知a5a6=a4a7=a3a8,又a5a6+a4a7+a3a8 =18得a5a6=a4a7=a3a8=6, 而log3a1+log3a2+log3a10=log3(a1a2a10) =log3(a5a6)5=log3(6)5=5log36 =5log3(23)=5log32+5.,2.若把

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