概率论与数理统计第一章课后习题与参考 答案

1、1 概率论与数理统计概率论与数理统计第一章第一章课后习题及课后习题及参考参考答案答案 1写出下列随机试验的样本空间 (1) 记录一个小班一次数学考试的平均分数(以百分制记分)； (2) 一个口袋中有 5 个外形相同的球，编号分别为 1，2，3，4，5，从中同时取 出 3 个球； (3) 某人射击一个目标，若击中目标，射击就停止，记录射击的次数； (4) 在单位圆内任意取一点，记录它的坐标 解：(1)100, 2 , 1； (2)345,235,234,145,135,134,125,124,123； (3), 2 , 1； (4)| ),( 22 yxyx 2在10, 2 , 1，432，A，5 , 4 , 3B，7 , 6 , 5C，具体写出下列各式： (1)BA；(2)BA ；(3)BA；(4)BCA；(5)CBA 解：(1),9,101,5,6,7,8A， 5BA； (2)10, 9 , 8 , 7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 1BA ； (3)法 1：10, 9 , 8 , 7 , 6 , 2 , 1B， 10, 9 , 8 , 7 , 6 , 1BA， 5 , 4 ,

2、 3 , 2BA； 法 2：5 , 4 , 3 , 2BABABA； (4)5BC， 10, 9 , 8 , 7 , 6 , 4 , 3 , 2 , 1BC， 4 , 3 , 2BCA， 10, 9 , 8 , 7 , 6 , 5 , 1BCA； 2 (5)7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2CBA， 1,8,9,10CBA 3设20|xx，1 2 1 |xxA， 2 3 4 1 |xxB，具体写出下列各 式： (1)BA；(2)BA；(3)AB；(4)BA 解：(1)BBA， 2 2 3 , 4 1 0|xxxBBA； (2)BA； (3)AAB ， 21 , 2 1 0|xxxAAB； (4) 2 3 1 , 2 1 4 1 |xxxBA 4化简下列各式： (1)(BABA；(2)(CBBA；(3)()(BABABA 解：(1)ABBABABA)()(； (2)ACBCABCBBA)()(； (3)()()(BABBABABABAABABAABAA)( 5A，B，C表示 3 个事件，用文字解释下列事件的概率意义： (1)CBACBACBA；(2)BCACAB； (3)(CBA

3、；(4)BCACAB 解：(1)A，B，C恰有一个发生； (2)A，B，C中至少有一个发生； (3)A发生且B与C至少有一个不发生； (4)A，B，C中不多于一个发生 6对于任意事件A，B，证明：ABAAB)( 3 证：ABBAABAABABAAB)()(AAAA 7把事件CBA表示为互不相容事件的和事件 解：)()(CABAAACBACBA )(BCACBABAACABAA CBABCABAA)( CBABAA 8设0)(AP，0)(BP，将下列 5 个数 )(AP，)()(BPAP，)(BAP，)()(BPAP，)(BAP 按有小到大的顺序排列，用符号“”联结它们，并指出在什么情况下可能 有等式成立 解：因为0)(AP，0)(BP，)()(BPABP， 故)()()()()()()()()(BPAPBAPAPBAPABPAPBPAP， 所以)()()()()()()(BPAPBAPAPBAPBPAP (1) 若AB ，则有)()()(BAPBPAP，)()(BAPAP； (2) 若AB，则有)()(APBAP，)()()(BPAPBAP 9已知BA，3 . 0)(AP，5 . 0)

4、(BP，求)(AP，)(ABP，)(BAP和)(BAP 解：(1)7 . 0)(1)(APAP； (2)BA，AAB ，则3 . 0)()(APABP； (3)2 . 0)()()()(ABPBPABPBAP； (4)(1)()(BAPBAPBAP5 . 0)()()(1ABPBPAP 10设有 10 件产品，其中 6 件正品，4 件次品，从中任取 3 件，求下列事件的 概率 (1) 只有 1 件次品；(2) 最多 1 件次品；(3) 至少一件次品 4 解：从 10 件产品中任取 3 件，共有 3 10 C种取法， (1) 记A从 10 件产品中任取 3 件，只有 1 件次品， 只有 1 件次品，可从 4 件次品中任取 1 件次品，共 1 4 C中取法，另外的两件 为正品，从 6 件正品中取得，共 2 6 C种取法则事件A共包含 2 6 1 4C C个样本点， 2 1 )( 3 10 2 6 1 4 C CC AP (2) 记B从 10 件产品中任取 3 件，最多有 1 件次品， C从 10 件产品中任取 3 件，没有次品， 则CAB，且A与C互不相容 没有次品，即取出的 3 件产品全

5、是正品，共有 3 6 C种取法，则 6 1 )( 3 10 3 6 C C CP， 3 2 )()()()(CPAPCAPBP (3) 易知C从 10 件产品中任取 3 件，至少有 1 件次品，则 6 5 )(1)(CPCP 11盒子里有 10 个球，分别标有从 1 到 10 的标号，任选 3 球，记录其号码，求： (1) 最小号码为 5 的概率；(2) 最大号码为 5 的概率 解：从 10 个球中任选 3 球，共有 3 10 C种选法， (1) 记A从 10 个球中任选 3 球，最小标号为 5， 事件A发生，则选出球的最小标号为 5，另外两个球的标号只可从 6，7，8， 9，10 这 5 个数中任选，共有 2 5 C种选法，则 12 1 )( 3 10 2 5 C C AP (2) 记B从 10 个球中任选 3 球，最大标号为 5， 事件B发生，则选出球的最大标号为 5，另外两个球的标号只可从 1，2，3， 4 这 4 个数中任选，共有 2 4 C种选法，则 5 20 1 )( 3 10 2 4 C C BP 12设在口袋中有a个白球，b个黑球，从中一个一个不放回地摸球，直至留在 在

6、口袋中的球都是同一种颜色为止求最后是白球留在口袋中的概率 解：设A最后是白球留在口袋中， 事件A即把ba个球不放回地一个一个摸出来，最后摸到的是白球，此概 率显然为 ba a AP )( 13 一间学生寝室中住有 6 位同学， 假定每个人的生日在各个月份的可能性相同， 求下列事件的概率： (1) 6 个人中至少有 1 人的生日在 10 月份； (2) 6 个人中有 4 人的生日在 10 月份； (3) 6 个人中有 4 人的生日在同一月份 解：设 i B生日在i月份，则 i B生日不在i月份，12, 2 , 1i， 易知 12 1 )( i BP， 12 11 )( i BP，12, 2 , 1i (1) 设A6 个人中至少有 1 人的生日在 10 月份， 则A6 个人中没有一个人的生日在 10 月份， 66 10 ) 12 11 (1)(1)(1)(BPAPAP； (2) 设C6 个人中有 4 人的生日在 10 月份， 则 6 2 244 6 2 10 4 10 4 6 12 1115 ) 12 11 () 12 1 ()()()( CBPBPCCP； (3) 设D6 个人中有 4

7、人的生日在同一月份， 则 5 2 1 12 12 1115 )()( CPCDP 14 在半径为R的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径 上的位置是等可能的，即交点在这一直径上一个区间内的可能性与此区间的 长度成正比，求任意画的弦的长度大于R的概率 解：设弦与该直径的交点到圆心的距离为x，已知，当Rx 2 3 ，弦长大于半径 6 R，从而所求的概率为 2 3 2 2 3 2 R R P 15 甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊，它们在同一昼夜 内到达的时刻是等可能的， 如果甲船的停泊时间是 1h， 乙船的停泊时间是 2h， 求它们中的任何一艘都不需要等候码头空出的概率 解：设A两艘中的任何一艘都不需要等候码头空出， 则A一艘船到达泊位时必须等待， 分别用x和y表示第一、第二艘船到达泊位的时间， 则10 , 20| ),(xyyxyxA， 从而1207. 0 24 22 2 1 23 2 1 24 )( )( )( 2 222 A AP； 8993. 0)(1)(APAP 16甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为 0.6 和 0.5，现已

8、知目标被击中，问由甲射中的概率为多少？ 解：设A甲击中目标，B乙击中目标，C目标被击中， 则BAC，由题设知A与B相互独立，且 6 . 0)(AP，5 . 0)(BP， 所以)()()()()(ABPBPAPBAPCP 8 . 0)()()()(BPAPBPAP， 从而 4 3 )( )( )( )( )|( CP AP CP ACP CAP 17 某地区位于河流甲与河流乙的汇合点， 当任一河流泛滥时， 该地区即被淹没， 设在某时期内河流甲泛滥的概率是 0.1，河流乙泛滥的概率是 0.2，又当河流 甲泛滥时引起河流乙泛滥的概率为 0.3， 求在该时期内这个地区被淹没的概率， 7 又当河流乙泛滥时，引起河流甲泛滥的概率是多少？ 解：A甲河流泛滥，B乙河流泛滥，C该地区被淹没， 则BAC，由题设知1 . 0)(AP，2 . 0)(BP，3 . 0)|(ABP， 从而)()()()()(ABPBPAPBAPCP 27. 0)|()()()(ABPAPBPAP， 15. 0 )( )|()( )( )( )|( BP ABPAP BP ABP BAP 18设n件产品中有m件不合格品，从中任取两件，已知两件中有一件不合格 品，求另一件也是不合格品的概率 解：设A有一件产品是不合格品，B另一件产品也是不合格品， i D取出的两件产品中有i件不合格品，2 , 1 , 0i， 显然， 21 DDA， 21D D， 2 DBAB 从n件产品种任取两件，共有 2 n C种取法； 若 1 D发生， 即取出的两件产品中有 1 件不合格品， 则该不合格品只能从m件 不合格品中取得，共有 1 m C种取法；另一件为合格品，只能从mn件合格品中取 得，共有 1 mn C 种取法，则事件 1 D中共有 11 mnmC C 个样本点， ) 1( )(2 )( 2 11 1 nn mnm C CC DP n mnm ， 类似地， ) 1( ) 1( )( 2 2 2 nn mm C C DP n m ， 所以 ) 1( ) 1()(2 )()()()( 2121 nn mmmnm

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