(全国通用版)2019版高考数学大一轮复习 第八章 立体几何初步 第5节 直线、平面垂直的判定及其性质学案 文 新人教a版
17页1、第5节直线、平面垂直的判定及其性质最新考纲1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理;2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.知 识 梳 理1.直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义如果一条直线l与平面内的任意直线都垂直,就说直线l与平面互相垂直.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直l性质定理 两直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行ab2.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直性质定理如果两个平面互相垂直,则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面l常用结论与微点提醒1.两个重要结论(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.(2)若一条直线垂直于一个平面,则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方
2、法).2.使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理,不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线,就垂直于这个平面”.3.线线、线面、面面垂直间的转化诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)直线l与平面内的无数条直线都垂直,则l.()(2)垂直于同一个平面的两平面平行.()(3)若两平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.()(4)若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线,则.()解析(1)直线l与平面内的无数条直线都垂直,则有l或l与斜交或l或l,故(1)错误.(2)垂直于同一个平面的两个平面平行或相交,故(2)错误.(3)若两个平面垂直,则其中一个平面内的直线可能垂直于另一平面,也可能与另一平面平行,也可能与另一平面相交,也可能在另一平面内,故(3)错误.(4)若平面内的一条直线垂直于平面内的所有直线,则,故(4)错误.答案(1)(2)(3)(4)2.(必修2P73A组T1改编)下列命题中不正确的是()A.如果平面平面,且直线l平面,则直线l平面B.如果平面平面,那么平面内一定存在直线平行于平面C.如果平面不垂直于平面,那么平面内一定不存在直线
3、垂直于平面D.如果平面平面,平面平面,l,那么l解析根据面面垂直的性质,A不正确,直线l平面或l或直线l与相交.答案A3.(2018湖南六校联考)已知m和n是两条不同的直线,和是两个不重合的平面,下面给出的条件中一定能推出m的是()A.且m B.mn且nC.mn且n D.mn且解析由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理,可知C正确.答案C4.(2017全国卷)在正方体ABCDA1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则()A.A1EDC1 B.A1EBDC.A1EBC1 D.A1EAC解析如图,由题设知,A1B1平面BCC1B1且BC1平面BCC1B1,从而A1B1BC1.又B1CBC1,且A1B1B1CB1,所以BC1平面A1B1CD,又A1E平面A1B1CD,所以A1EBC1.答案C5.边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角,则折叠后AC的长为_.解析如图所示,取BD的中点O,连接AO,CO,则AOC是二面角ABDC的平面角,即AOC90.又AOCOa,ACa,即折叠后AC的长(AC)为a.答案a考点一线面垂直的判定与性质【例1】 如图,在四棱锥PABCD中,PA底面AB
4、CD,ABAD,ACCD,ABC60,PAABBC,E是PC的中点.证明:(1)CDAE;(2)PD平面ABE.证明(1)在四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,CD平面ABCD,PACD,又ACCD,且PAACA,CD平面PAC.而AE平面PAC,CDAE.(2)由PAABBC,ABC60,可得ACPA.E是PC的中点,AEPC.由(1)知AECD,且PCCDC,AE平面PCD.而PD平面PCD,AEPD.PA底面ABCD,AB平面ABCD,PAAB.又ABAD,且PAADA,AB平面PAD,而PD平面PAD,ABPD.又ABAEA,PD平面ABE.规律方法1.证明直线和平面垂直的常用方法有:(1)判定定理;(2)垂直于平面的传递性(ab,ab);(3)面面平行的性质(a,a);(4)面面垂直的性质(,a,la,ll).2.证明线面垂直的核心是证线线垂直,而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此,判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.【训练1】 如图所示,已知AB为圆O的直径,点D为线段AB上一点,且ADDB,点C为圆O上一点,且BCAC,PD平面ABC,PDDB.
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