四川省眉山一中办学共同体2018-2019学年高二数学上学期期中试题 理

1、四川省眉山一中办学共同体2018-2019学年高二数学上学期期中试题 理第I卷（选择题）一、选择题（共60分，每小题5分，每个小题有且仅有一个正确的答案）1下列结论正确的个数为()A梯形可以确定一个平面；B若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；C若l上有无数个点不在平面内，则lD如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合2.平面的法向量为(1,2，2)，平面的法向量(2，h，k)，若，则hk的值为()A.2B.8C.0D.63. 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列判断错误的是()AMN与CC1垂直BMN与AC垂直CMN与BD平行DMN与A1B1平行4若直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于120，则直线与平面所成的角等于()A120 B30 C 60D60或305. 已知二面角l的大小是，m，n是异面直线，且m，n，则m，n所成的角为()A.B.C.D.6已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则下列向量是平面ABC法向量的是()A(1,1,1) BC (1，1,1)D7下列结论中，正确的是()A若直线平

2、行平面，点P，则平面内经过点P且与直线平行的直线有且只有一条B若a，b是两条直线，且ab，则直线a平行于经过直线b的所有平面C若直线a与平面不平行，则此直线与平面内的所有直线都不平行D若a，b是两条直线，是两个平面，且a，b，则a，b是异面直线8.已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形.若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为 ()A.B.C.D.9.已知平面与平面相交，直线m，则()A.内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直B.内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直C.内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直D.内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直10在下列结论中：若向量共线，则向量所在的直线平行；若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面；若三个向量两两共面，则向量共面；已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数x，y，z使得.其中正确结论的个数是()A0 B1 C2 D311已知l，m，n为不同的直线，为不同的平面，则下列判断正确的是()A若m，n，则mnB若m，n，则mnC若m，

3、n，lm，ln，则lD若l，m，m，则ml12已知a，b是异面直线，A，Ba，C，Db，ACb，BDb且AB2，CD1，则异面直线a，b所成的角等于()A30 B45 C60 D90第II卷（非选择题）二、填空题（共20分，每小题5分）13已知向量，若，则_.14.如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为_15.在三棱锥SABC中，ABC是边长为6的正三角形，SASBSC15，平面DEFH分别与AB，BC，SC，SA交于点D，E，F，H.且D，E分别是AB，BC的中点，如果直线SB平面DEFH，那么四边形DEFH的面积为_16.如图，圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO中点，动点P在圆锥底面内(包括圆周)若AMMP，则点P形成的轨迹长度为_三、解答题（共70分）17.（10分）直三棱柱中，ACBCAA=2，ACB90，D、E分别为AB、BB的中点.(1)求证：；(2)求异面直线CE与AC所成角的余弦值.18.(12分)如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADAB，ABDC，ADDCAP2，AB

4、1，点E为棱PC的中点(1)证明：BEDC；(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；19.(12分)如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1ACCB.(1)证明：BC1平面A1CD；(2)求二面角DA1CE的正弦值.20.（12分）如图所示，在四棱锥PABCD中，侧面PAD底面ABCD，侧棱PAPD，PAPD，底面ABCD为直角梯形，其中BCAD，ABAD，ABBC1，O为AD中点 (1)求B点到平面PCD的距离；(2)线段PD上是否存在一点Q，使得二面角QACD的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由21. (12分)如图所示，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，AB4，BC3，AD5，DABABC90，E是CD的中点.(1)证明：CD平面PAE；(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥PABCD的体积.22.（12分）如图，三棱锥的侧面是等腰直角三角形，且（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值眉山一中办学共同体2020届第三期半期考试题数学（理工类）参考答案一选择题1A. 2.C 3.D

5、 4.B 5.C 6.B 7.A 8.B 9.D 10.A 11.D 12.C二填空题13.2 14. 15. 16.三解答题17题（10分）解：法一：如图建立空间直角坐标系，其各点坐标如图所示（1） 证明：（2）异面直线CE与AC所成角的余弦值为。法二：(1)证明设a，b，c，根据题意，|a|b|c|，且abbcca0，bc，cba.c2b20.，即CEAD.(2)解ac，|a|，|a|.(ac)c2|a|2，cos，.即异面直线CE与AC所成角的余弦值为.18题（12分）解：(1)证明依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系如图，可得B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(1,1,1)。(0,1,1)，(2,0,0)，故0，所以BEDC.(2) (1,2,0)，(1,0，2)设n(x，y，z)为平面PBD的一个法向量，则即不妨令y1，5分可得n(2,1,1)于是有cosn，所以，直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.7分19题（12分）解：(1)证明连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点.又D是AB的中点，连接DF，则BC1DF.因为DF平面

6、A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1平面A1CD.(2)由ACCBAB得，ACBC.以C为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，的方向为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.设CA2，则D(1,1,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)， (1,1,0)，(0,2,1)，(2,0,2).设n(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，则即可取n(1，1，1).同理，设m是平面A1CE的法向量，则可取m(2,1，2).从而cosn，m，故sinn，m.即二面角DA1CE的正弦值为.20题（12分）.解：在PAD中，PAPD，O为AD中点，POAD.又侧面PAD底面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PO平面PAD，PO平面ABCD.在PAD中，PAPD，PAPD，AD2.在直角梯形ABCD中，O为AD的中点，ABAD，OCAD.以O为坐标原点，OC为x轴，OD为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则P(0,0,1)，A(0，1,0)，B(1，1,0)，C(1,0,0)，D(0,1,0)， (1)(1，1，1)设平面PCD的法向量为u(x，y，z

7、)，则取z1，得u(1,1,1)则B点到平面PCD的距离d.(2)设(01)(0,1，1)，(0，)，(0，1)，Q(0，1)设平面CAQ的法向量为m(x，y，z)，则取z1，得m(1，1，1)平面CAD的一个法向量为n(0,0,1)，二面角QACD的余弦值为，|cosm，n|.整理化简，得321030.解得或3(舍去)，存在，且.21题(12分)解：方法一(1)证明如图，连接AC.由AB4，BC3，ABC90得AC5.1分又AD5，E是CD的中点，所以CDAE.2分因为PA平面ABCD，CD平面ABCD，所以PACD.4分而PA，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD平面PAE.5分(2)过点B作BGCD，分别与AE，AD相交于点F，G，连接PF.由(1)CD平面PAE知，BG平面PAE.于是BPF为直线PB与平面PAE所成的角，且BGAE.6分由PA平面ABCD知，PBA为直线PB与平面ABCD所成的角.7分由题意得PBABPF，因为sinPBA，sinBPF，所以PABF.由DABABC90知，ADBC.又BGCD，所以四边形BCDG是平行四边形.故GDBC3.于是AG2.在RtBAG中，AB4，AG2，BGAF，所以BG2，BF.于是PABF.10分又梯形ABCD的面积为S(53)416，所以四棱锥PABCD的体积为VSPA16.12分方法二如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.设PAh，则A(0,0,0)，B(4,0,0)，C(4,3,0)，D(0,5,0)，E(2,4,0)，P(0,0，h).2分(1)证明易知(4,2,0)，(2,4,0)，(0,0，h).因为8800，0，4分所以CDAE，CDAP.而AP，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD平面PAE.5分(2)由题设和(1)知，分别是平面PAE，平面ABCD的法向量.6分而PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，所以|cos，

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