数学概念的历史的理解及线性代数课程特点和学习要求

1、唐林炜,数学概念的历史理解 及线性代数课程特点,一、什么是数学历史的理解数学本身是一个历史的概念，数学的内涵随着时代的变化而变化，给数学下一个一劳永逸的定义是不可能的，我们在这里就从历史的角度来说一下“什么是数学”这个问题。,1、公元前4世纪希腊哲学家亚里士多德将数学定义为：“数学是量的科学”,亚里士多德,其中“量”的涵义是模糊的，它包含了古埃及，巴比伦，印度和中国等地区发展起来的数学，主要是计数。初等算术与算法，几何学则可以看作是应用算术；还包含了希腊对“形”的研究，希腊人主要对几何感兴趣，他们将数放在几何形式下去考察。这表明当时的数学是关于数与形的研究，从那时起直到17世纪，数学对象没有本质的变化。,2、19世纪恩格斯将数学定义为：数学是研究现实世界的空间形式与数量关系的科学,恩 格 斯,牛 顿,莱布尼兹,从17世纪开始，数学发生了重大转折，整个17、18世纪，数学家们关注的焦点是运动与变化，牛顿与莱布尼兹定义的微积分本质上是运动与变化的科学，它使科学家能够从数学上研究行星运动，机械的运动，流体运动，动植物生长，等等。因此在牛顿与莱布尼兹以后，数学成为研究数、形以及运动与变化的学问

2、。当然运动与变化的数学描述离不开数与形，因此产生上述定义。,3、19世纪的数学家对数学本身的兴趣空前增长，除了现实世界的材料，他们更多关注数学内部的需求，抽象代数，非欧几何以及严格化的分析都是这类内部需要的产物,数学发生本质的变化。因此,19世纪后期开始，数学成为研究数与形，运动与变化以及研究数学自身问题的学问。20世纪50年代前苏联一批有影响的数学家修改恩格斯给出的定义来概括现代数学发展的特征：现代数学就是各种量之间的可能，一般说是各种变化着的量的关系和相互联系的科学。,上面的定义，不再区分“数”与“形”，又回到亚里士多德对数学最早的定义中使用过的“量”，但这个量却被赋予了丰富的现代涵义：它不仅包括现实世界的各种空间形式与数量关系,而且包括了一切可能的空间形式与数量关系,4、20世纪80年代又出现了对数学的定义作符合时代的修正的新尝试，主要是一批美国学者，将数学简单地定义为关于“模式”的科学：数学 这个领域已被称为模式的科学，其目的是要揭示人们从自然界和数学本身的抽象世界中所观察到的结构和对称性。,这一定义实际上是用“模式”代替了“量”，而所谓”模式“有着极广泛的内涵，包括数的模式，

3、形的模式，运动与变化的模式，推理与通信的模式，行为的模式。这些模式可以是现实的，也可以是想象的；可以是定量的，也可以是定性的。数学的这一新定义，以其高度的概括性，已日益引起关注并获得大多数数学家的认同与接受。,我希望同学们在今后的数学学习中能以“模式”观点来观察问题,分析解决,解决问题。同学们将在大学数学学习中通过一个个模式的学习，领悟近几百年许多杰出科学家观察世界的思维方式，提升自身的能力与素质。大学与中学学习的不同之处，除了传授知识外，更重要的是借助知识让你领悟科学家是如何观察问题、分析问题、解决问题的，引导你今后能像科学家一样观察问题、分析问题、解决问题。,二、线性代数课程的特点1、高等数学、线性代数与概率统计是工科院校学生的三大基础数学课。线性代数是研究有限维空间中线性关系的理论和方法的数学，是代数的一个分支起源于17世纪。与高等数学、概率统计等基础数学课相比，线性代数课程的特点在于内容抽象，定义、定理多，尤其向量和矩阵部分最为典型，需要较强的抽象思维与逻辑推理能力，这对于工科学生来说是一个难点。,2、 线性代数有其独特的思维方式，上课讲的定义、性质、定理、举例等比较抽象、枯燥

4、。同学们会出现上课听得懂，但自己不会解题、不会证题的现象。因此，要求同学们上课应仔细听讲，课下反复思考，希望同学们组成学习团队，相互帮助，共同克服学习上的困难。由于线性代数课程中概念、性质及定理多，在学习的过程中，同学们对所涉及的概念、性质及定理既要理解，又要记忆，要动手多做题，要完完整整的解每一道题，在草稿纸上随便画一画，自己认为会了而不详细解不是一种好的学习方法！,3、线性代数课程类似平面几何，但是它又比平面几何更抽象，如果不能熟悉有关定义、定理、性质及命题等，思维将出现断层，学习将无法进行。这里我们再次强调：同学们要关注定义、定理、性质及命题等的记忆、理解和应用。线性代数课程课时少、进度快，因此要求同学加强课前预习和课后复习。,4、线性代数课程教学学时及知识分布概况我校工科线性代数课程学时为36学时，即授课次数为18次。在线性代数课程中，我们大约要给出 个概念、定义138个；129个定理、性质、算律。第一章行列式(8学时,4次课)概念、定义等18个；定理、性质、算律等20个。第二章矩阵及其运算(6学时,3次课)概念、定义等41个；定理、性质、算律等33个。,第三章矩阵的初等变换与

5、线性方程组(6学时,3次课)概念、定义等19个；定理、性质、算律等25个。第四章向量组的线性相关性(8学时,4次课)概念、定义等29个；定理、性质、算律等20个。第五章相似矩阵及二次型(8学时,4次课)概念、定义等31个；定理、性质、算律等31个。,三、关于作业1、 课本上：第一章14道题；第二章16道题；第三章16道题；第四章20道题；第五章16道题。2、补充题：第一章10道题；第二章13道题；第三章16道题；第四章20道题；第五章19道题。3、课本上的有解答请自学。补充题每章讲完后交作业，要求详解和书写工整。4、2或3人组成一个小组，要求具有互补性，作业以组为单位交，平时成绩以组为单位记。,四、线性代数课程考试1、试题分类:计算类题型60%；证明类题型30%；综合题10%2、试题题型:填空题30分；客观题70分3、考试时间为120分钟，平均每道题大约8.5分钟4、最终成绩:平时综合成绩(30%)与课程考试卷面成绩(70%) 形成最终课程成绩。,五、在线性代数学习中几种常用的技巧与方法 1、联想：客观事物是相互联系的，客观事物或现象之间的各种关系和联系反映在人脑中而有各种联想，有反映

6、事物外部联系的简单的、低级的联想，也有反映事物内部联系的复杂的、高级的联想。一般来说，在空间上和时间上只要某一个事物出现，就会在头脑中引起与之相联系的另一些事物的出现，这便是联想。,2、归纳法：归纳是根据对某类事务中具有代表性的部分对象及其属性之间必然联系的认识,从而得出一般性结论的方法。归纳是对个别事务、现象进行观察研究,而慨括出一般性的知识。归纳方法在科学研究、技术发展和管理决策过程中均具有重要的作用。,3、化归思想：所谓化归思想方法，就是在研究和解决问题时，将复杂问题通过变换转化为简单问题；将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题；将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题。化归在数学解题中几乎无处不在，化归的基本功能是：生疏化成熟悉，复杂化成简单，抽象化成直观。说到底，要善于对所要解决的问题进行变换转化，使问题得以解决。化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式。,4、反证法：反证法是在已知条件不变的情况下,假设命题的结论不成立，然后通过推导产生矛盾，从而肯定了命题的结论，命题获得了证明。 反证法在数学中经常运用。当论题从正面不容易或不能得

7、到证明时，就需要运用反证法，此即所谓“正难则反“。反证法的证题可以简要的概括为“否定得出矛盾否定”。即从否定结论开始，推出矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是辩证法中的“否定之否定”。,5、递推方法：递推方法是人们从开始认识数量关系时就很自然地产生的一种推理思想。例如自然数中最小的数是1，比1大1的数是2，接下来比2大1的数是3，由此得到了自然数数列：1，2，3，4，5，.在这里实际上就有了一个递推公式，假设第 个数为 ，则 ，即由自然数中第 个数加上1，就是第 个数。这样就可以得到自然数数列中任何一个数,如果一个与自然数有关的数列中任一项 可以由它前面的 项经过运算或其他方法表示出来，我们就称相邻之间有递推关系并称这种公式为递推关系式。通过寻求递推关系来解决问题的方法就称为递推方法。许多与自然数有关的数学问题都常常具有递推关系，可以用递推关系来表达它的数量关系。寻求递推关系的常用方法是“退”到问题最简单情况开始观察，逐步归纳并且猜想出一般的递推关系。,6、数学归纳法：最简单和常见的数学归纳法是证明：当 等于任意一个自然数时某命题成立。证明分下面三步：验证：当 时命题成立。

8、 假设：在 时命题成立。证明：在 时命题也成立。（ 代表任意自然数）,7、逆向思维法：就是指人们为达到一定目标，从相反的角度来思考问题。逆向思维是一种比较特殊的思维方式，它的思维取向总是与常人的思维取向相反，比如人弃我取，人进我退，人动我静，人刚我柔等等。逆向思维是发现问题、分析问题和解决问题的重要手段，有助于克服思维定势的局限性，是决策思维的重要方式。面临新事物、新问题的时候，我们应该学会从事物的不同方面。不同角度来分析研究新事物、解决新问题。逆向思维是一种重要的思维能力。,人类的思维具有方向性，存在着正向与反向之差异。一般认为，正向思维是指沿着人们的习惯性思考路线去思考，而反向思维则是指背逆人们的习惯路线去思维。 人们解决问题时，习惯于按照熟悉的常规的思维路径去思考，即采用正向思维，有时能找到解决问题的方法，收到令人满意的效果。然而，实践中也有很多事例，对某些问题利用正向思维却不易找到正确答案，一旦运用反向思维，常常会取得意想不到的功效。这说明反向思维是摆脱常规思维约束的一种具有创造性的思维方式,8、命题：可以判断真假的语句叫做命题。 原命题为： 逆命题为： 否命题为：非 非 逆否命题为：非 非 互为逆否命题：如果两个命题中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件的否定，则这两个命题称互为逆否命题。性质：原命题和逆否命题为等价命题如果原命题成立，逆否命题成立。,

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