2018版高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.1 双曲线及其标准方程学案 新人教a版选修2-1
8页1、1 2.3.12.3.1 双曲线及其标准方程双曲线及其标准方程 1.了解双曲线的定义及焦距的概念. 2.了解双曲线的几何图形、标准方程.(重点) 3.能利用双曲线的定义和待定系数法去求双曲线的标准方程.(重点) 基础初探 教材整理 1 双曲线的定义 阅读教材 P52P53“探究”以上部分,完成下列问题. 把平面内与两个定点F1,F2距离的_等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫 做双曲线,这_叫做双曲线的焦点,_叫做双曲线的焦距. 【答案】 差的绝对值 两个定点 两焦点间的距离 判断(正确的打“” ,错误的打“”) (1)在双曲线标准方程中,a,b,c之间的关系与椭圆中a,b,c之间的关系相同.( ) (2)点A(1,0),B(1,0),若|AC|BC|2,则点C的轨迹是双曲线.( ) (3)在双曲线标准方程1 中,a0,b0,且ab.( ) x2 a2 y2 b2 【答案】 (1) (2) (3) 教材整理 2 双曲线的标准方程 阅读教材 P53P54“例 1”以上部分,完成下列问题. 焦点在x轴上焦点在y轴上 标准方程_(a0,b0)_(a0,b0) 焦点F1_,F2_F1_
2、,F2_ a,b,c的关系c2_ 【答案】 1 1 (c,0) (c,0) (0,c) (0,c) a2b2 x2 a2 y2 b2 y2 a2 x2 b2 若方程1 表示双曲线,则实数m满足( ) x2 m21 y2 m23 2 A.m1 且m3B.m1 C.m或mD.3m1 33 【解析】 因为方程1 表示双曲线,而m210 恒成立,所以 x2 m21 y2 m23 m230,解得m或m,故选 C. 33 【答案】 C 小组合作型 双曲线定义的应用 已知双曲线1 的左、右焦点分别是F1、F2,若双曲线上一点P使得 x2 9 y2 16 F1PF260,求F1PF2的面积. 【精彩点拨】 在F1PF2中,分析三角形中已有的条件,结合定义和余弦定理可得 |F1F2|、|PF1|、|PF2|三者的关系. 【自主解答】 由1, x2 9 y2 16 得a3,b4,c5. 由定义和余弦定理得|PF1|PF2|6, |F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60, 所以 102(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|, 所以|PF1|PF2|64, SF1PF2 |P
3、F1|PF2|sin F1PF2 1 2 6416. 1 2 3 23 求双曲线中的焦点三角形PF1F2面积的方法 (1)根据双曲线的定义求出|PF1|PF2|2a;利用余弦定理表示出 |PF1|、|PF2|、|F1F2|之间满足的关系式;通过配方,整体的思想求出|PF1|PF2|的值; 利用公式SPF1F2 |PF1|PF2|sinF1PF2求得面积. 1 2 (2)利用公式SPF1F2 |F1F2|yP|求得面积. 1 2 3 再练一题 1.已知定点A的坐标为(1,4),点F是双曲线1 的左焦点,点P是双曲线右支 x2 4 y2 12 上的动点,则|PF|PA|的最小值为_. 【解析】 由双曲线的方程可知a2,设右焦点为F1,则F1(4,0). |PF|PF1|2a4,即|PF|PF1|4,所以|PF|PA|PF1|PA|4|AF1|4, 当且仅当A,P,F1三点共线时取等号,此时|AF1|5,所以 4124225 |PF|PA|AF1|49,即|PF|PA|的最小值为 9. 【答案】 9 求双曲线的标准方程 根据下列条件,求双曲线的标准方程. (1)过点P,Q且焦点在坐标轴上;
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