2018版高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.1 双曲线及其标准方程学案 新人教a版选修2-1

1 2.3.12.3.1 双曲线及其标准方程双曲线及其标准方程 1.了解双曲线的定义及焦距的概念. 2.了解双曲线的几何图形、标准方程.(重点) 3.能利用双曲线的定义和待定系数法去求双曲线的标准方程.(重点) 基础·初探 教材整理 1 双曲线的定义 阅读教材 P52P53“探究”以上部分，完成下列问题. 把平面内与两个定点F1，F2距离的_等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫 做双曲线，这_叫做双曲线的焦点，_叫做双曲线的焦距. 【答案】 差的绝对值 两个定点 两焦点间的距离 判断(正确的打“” ，错误的打“×”) (1)在双曲线标准方程中，a，b，c之间的关系与椭圆中a，b，c之间的关系相同.( ) (2)点A(1,0)，B(1,0)，若|AC|BC|2，则点C的轨迹是双曲线.( ) (3)在双曲线标准方程1 中，a0，b0，且ab.( ) x2 a2 y2 b2 【答案】 (1)× (2)× (3)× 教材整理 2 双曲线的标准方程 阅读教材 P53P54“例 1”以上部分，完成下列问题. 焦点在x轴上焦点在y轴上 标准方程_(a0，b0)_(a0，b0) 焦点F1_，F2_F1_，F2_ a，b，c的关系c2_ 【答案】 1 1 (c,0) (c,0) (0，c) (0，c) a2b2 x2 a2 y2 b2 y2 a2 x2 b2 若方程1 表示双曲线，则实数m满足( ) x2 m21 y2 m23 2 A.m1 且m3B.m1 C.m或mD.3m1 33 【解析】 因为方程1 表示双曲线，而m210 恒成立，所以 x2 m21 y2 m23 m230，解得m或m，故选 C. 33 【答案】 C 小组合作型 双曲线定义的应用 已知双曲线1 的左、右焦点分别是F1、F2，若双曲线上一点P使得 x2 9 y2 16 F1PF260°，求F1PF2的面积. 【精彩点拨】 在F1PF2中，分析三角形中已有的条件，结合定义和余弦定理可得 |F1F2|、|PF1|、|PF2|三者的关系. 【自主解答】 由1， x2 9 y2 16 得a3，b4，c5. 由定义和余弦定理得|PF1|PF2|±6， |F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60°， 所以 102(|PF1|PF2|)2|PF1|·|PF2|， 所以|PF1|·|PF2|64， SF1PF2 |PF1|·|PF2|·sin F1PF2 1 2 ×64×16. 1 2 3 23 求双曲线中的焦点三角形PF1F2面积的方法 (1)根据双曲线的定义求出|PF1|PF2|2a；利用余弦定理表示出 |PF1|、|PF2|、|F1F2|之间满足的关系式；通过配方，整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值； 利用公式SPF1F2 ×|PF1|·|PF2|sinF1PF2求得面积. 1 2 (2)利用公式SPF1F2 ×|F1F2|×|yP|求得面积. 1 2 3 再练一题 1.已知定点A的坐标为(1,4)，点F是双曲线1 的左焦点，点P是双曲线右支 x2 4 y2 12 上的动点，则|PF|PA|的最小值为_. 【解析】 由双曲线的方程可知a2，设右焦点为F1，则F1(4,0). |PF|PF1|2a4，即|PF|PF1|4，所以|PF|PA|PF1|PA|4|AF1|4， 当且仅当A，P，F1三点共线时取等号，此时|AF1|5，所以 4124225 |PF|PA|AF1|49，即|PF|PA|的最小值为 9. 【答案】 9 求双曲线的标准方程 根据下列条件，求双曲线的标准方程. (1)过点P，Q且焦点在坐标轴上； (3， 15 4) ( 16 3 ，5) (2)c，经过点(5,2)，焦点在x轴上. 6 【精彩点拨】 (1)所求双曲线的焦点位置不确定，怎样求解？(2)已知半焦距时，如 何设双曲线的标准方程？ 【自主解答】 (1)设双曲线方程为1(mn0).P，Q两点在双曲线上， x2 m y2 n Error!解得Error! 所求双曲线的方程为1. y2 9 x2 16 (2)焦点在x轴上，c， 6 设所求双曲线的方程为1(06). x2 y2 6 双曲线过点(5,2)， 1， 25 4 6 解得5 或30(舍去)， 所求双曲线的方程为y21. x2 5 1.求双曲线标准方程的步骤 (1)确定双曲线的类型，并设出标准方程； (2)求出a2，b2的值. 2.当双曲线的焦点所在坐标轴不确定时，需分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论， 4 特别地，当已知双曲线经过两个点时，可设双曲线方程为Ax2By21(AB50， 100215022 × 100 × 150 × cos 60°7 所以界线是以A，B为焦点的双曲线的右支的一部分. 如图所示，以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标 系. 设所求双曲线的标准方程为1(a0，b0). x2 a2 y2 b2 因为a25，c25， 7 所以b2c2a23 750. 故双曲线的标准方程为1. x2 625 y2 3 750 注意到点C的坐标为(25，60)， 7 故y的最大值为 60，此时x35. 故界线的曲线方程为1(25x35,0y60). x2 625 y2 3 750 利用双曲线解决实际问题的基本步骤 1建立适当的坐标系. 2求出双曲线的标准方程. 3根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题. 注意：解答与双曲线有关的应用问题时，除要准确把握题意，了解一些实际问题的 6 相关概念，同时还要注意双曲线的定义及性质的灵活应用； 实际应用问题要注意其实际意义以及在该意义下隐藏着的变量范围. 再练一题 3.如图 2­3­2，B地在A地的正东方向 4 km 处，C地在B地的北偏东 30°方向 2 km 处， 河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A地的距离比到B地的距离远 2 km.现要在河岸PQ上选 一处M建码头，向B，C两地转运货物.经测算，修建公路的费用是a万元/km，求修建这两 条公路的总费用最低是多少. 图 2­3­2 【解】 以AB所在的直线为x轴，AB的中点为原点建立平面直角坐标系(图略).根据 题意，得C(3，). 3 因为|MA|MB|2|AB|， 所以点M的轨迹是双曲线x21 的右支. y2 3 总费用为a|MB|a|MC|a(|MB|MC|). 因为|MB|MC|MA|2|MC|AC|222，当M，A，C三点共线时，等号 7 成立， 所以总费用最低为(22)a万元. 7 1.已知m，nR R，则“mn0”是“方程1 表示双曲线”的( ) x2 m y2 n A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】 方程1 表示双曲线，必有mn0；当mn0 时，方程1 表 x2 m y2 n x2 m y2 n 示双曲线，所以“mn0”是“方程1 表示双曲线”的充要条件. x2 m y2 n 【答案】 C 7 2.以椭圆1 的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的方程 x2 3 y2 4 是( ) A.y21 B.y21 x2 3 x2 3 C.1D.1 x2 3 y2 4 y2 3 x2 4 【解析】 椭圆1 的焦点为F1(0,1)，F2(0，1)，长轴的端点A1(0,2)， x2 3 y2 4 A2(0，2)，所以对于所求双曲线a1，c2，b23，焦点在y轴上，双曲线的方程为 y21. x2 3 【答案】 B 3.设m是常数，若点F(0,5)是双曲线1 的一个焦点，则m_. y2 m x2 9 【导学号：37792067】 【解析】 由点F(0,5)可知该双曲线1 的焦点落在y轴上，所以m0，且 y2 m x2 9 m952，解得m16. 【答案】 16 4.求满足下列条件的双曲线的标准方程. (1)已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线过点(3，4)和； 2 ( 9 4，5) (2)与双曲线1 有公共焦点，且过点(3，2). x2 16 y2 42 【解】 (1)由已知，可设所求双曲线方程为1(a0，b0)， y2 a2 x2 b2 则Error!解得Error! 所以双曲线的方程为1. y2 16 x2 9 (2)设双曲线方程为1(a0，b0). x2 a2 y2 b2 由题意知c2. 5 因为双曲线过点(3，2)，所以1. 2 3 22 a2 4 b2 又因为a2b2(2)2， 5 所以a212，b28. 8 故所求双曲线的方程为1. x2 12 y2 8