梁的应力及强度设计

1、梁的应力及强度设计,DESIGN OF BEAMS FOR BENDING STRESSES,某段梁的内力只有弯矩没有剪力时，该段梁的变形称为纯弯曲。如AB段。,P,P,a,a,A,B,Q,M,x,x,纯弯曲:,某段梁的内力同时有剪力与弯矩， 此弯曲称为横力弯曲，如AC、BD段,C,D,横力弯曲：,1.纯弯梁横截面上的正应力,1）纯弯曲的实验现象及相关假设,b.梁的纵向直线均弯曲成弧线，靠顶面的纵线缩短，靠底面的纵线拉长，而位于中间位置的纵线长度不变。纵向纤维都是轴向拉长或缩短（即纵向纤维之间无相互挤压）。此为单向受力假设。亦即横截面上只有正应力,a.梁的横截面在梁变形后仍保持为平面，且仍与梁轴线正交。此为平面假设。,中性轴：中性层与横截面的交线。,中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。,中性层,中性轴,2)纯弯梁变形的几何规律,距中性层为 y 处的纵线ab的变形量：,故ab纵线的正应变则为：,3).物理方程与应力分布,由于各纵向纤维只承受轴向拉伸或压缩，于是在正应力不超过比例极限时，由虎克 定律知,表明横截面上正应力沿截面高度呈线形分布，

2、而中性轴上各点的正应力为零。,（a）,4).静力学关系,因：,将(a)式代入(b)，于是有：,即：,由此可见，中性轴过截面形心。,(b),(c),(a),将(a)式代入(c),得：,Iz为截面对Z轴的惯性矩,可见：中性层的曲率1/与弯矩M成正比，与EIz成反比。可知，EIz的大小直接决定了梁抵抗变形的能力，因此称EIz为梁的截面抗弯刚度，简称为抗弯刚度。,将(d)式代入(a)式，得：,(a),(c),令：,得：,(d),常见截面的惯性矩、抗弯截面系数及组合截面的惯性矩, 矩形截面的惯性矩Iz,根据惯性矩定义有：, 圆形截面的惯性矩Iz,同理，空心圆截面对中性轴的惯性矩为,式中D为空心圆截面的外径，为内、外径的比值。,a) 惯性矩,Iz / ymax只与截面的形状及尺寸相关，称其为抗弯截面模量，用Wz表示,因此，最大弯曲正应力即为:, 矩形截面抗弯截面系数, 圆形截面抗弯截面系数,同理，空心圆截面的抗弯截面系数,b)抗弯截面模量,c) 组合截面的惯性矩,将组合截面A划分为n个简单图形，设每个简单图形面积分别为A1、A2、An。根据惯性矩定义及积分的概念，组合截面A对某一轴的惯性矩等于每个

3、简单图形对同一轴的惯性矩之和，即：,惯性矩的组合公式,平行移轴定理:,y0,d,截面对任一非形心惯性矩，等于截面对平行于该轴的形心轴的惯性矩与一附加项之和，该附加项等于截面面积与两轴距离平方之积。,因该附加项恒为正，所以，截面对形心轴的惯性矩最小。,求图示T字形截面对形心轴zC的惯性矩Iz。,解：（1）确定截面形心C的位置,将截面分为两个矩形、,其面积及各自的形心纵坐标分别为： A160201200mm2 yC120/210mm A2=4020800 mm2 yC240/22040mm,由形心计算公式，组合截面形心C的纵坐标为,（2）求截面对形心轴zC的惯性矩Iz根据组合公式有：,由平移轴公式有：,故有：,3.横力弯曲时梁的正应力计算,图示矩形截面悬臂梁，承受均布载荷q作用。已知q=10N/mm，l=300mm,b=20mm，h=30mm。试求B截面上c、d两点的正应力。,解：（1）求B截面上的弯矩,由截面法，求得：,(2)求B截面上c、d处的正应力,或：d=2c=150MPa,拉应力,压应力,解：画内力图，确定危险面,矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如图，试求最大正应力。,

4、求最大应力,最大曲率发生在哪里。,若G=200GP，计算最大曲率,20a工字钢梁的支承和受力情况如图所示，P=50KN，计算梁内最大正应力。,解：（1）画梁的弯矩图,（2）查表得抗弯截面模量,（3）求最大正应力,求图示铸铁悬臂梁内最大拉应力及最大压应力。P=20KN，Iz=10200cm4。,解：（1） 画弯矩图，确定危险面,(2) 确定危险点，计算最大拉应力与最大压应力,显然，A截面上的最大拉应力要大于B截面上的最大拉应力，故梁内最大拉应力发生在A截面下边缘处,最大压应力发生于何处？,可见，梁内最大压应力发生在B截面的下边缘各点,梁横截面上的剪应力,一、 矩形截面梁横截面上的剪应力,1、两点假设： 剪应力与剪力平行； 矩中性轴等距离处，剪应力相等。,2、研究方法：分离体平衡。 在梁上取微段dx,由平衡：,从微段上取一部分来研究，,由剪应力互等,t方向：与横截面上剪力方向相同； t大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h分布为抛物线。 最大剪应力为平均剪应力的1.5倍。,二、其它截面梁横截面上的剪应力,1、研究方法与矩形截面同;剪应力的计算公式亦为：,其中Q为截面剪力；Sz 为y点以下的面积

5、对中性轴之静矩；,Iz为整个截面对z轴之惯性矩；b 为y点处截面宽度。,2、几种常见截面的最大弯曲剪应力,工字钢截面：,试计算图示工字形截面梁内的最大剪应力。,解:（1）画梁的剪力图,b=6mm,Iz/Sz()=13.8cm,(3)计算应力,（2）查表得No16工字钢的截面几何数据,最大剪力为15KN,（4）腹板上平均剪应力,解：画内力图，确定危险面,矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如图，试求最大正应力和最大剪应力及其之比。,求最大应力,应力之比,梁的正应力和剪应力强度条件 梁的合理截面,1、危险面与危险点分析：,一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上下边缘上；最大剪应力发生在剪力绝对值最大的截面的中性轴处。,一、梁的正应力和剪应力强度条件,2、正应力和剪应力强度条件：,带翼缘的薄壁截面，除上述危险点外；还有一个可能的危险点，即在Q和M均很大的截面的腹、翼相交处。,3、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：,4、需要校核剪应力的几种特殊情况：,铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核剪应力。,梁的跨度较短，M 较小，而Q较大时

6、，要校核剪应力。,各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核剪应力。, 在一般情况下，弯矩对强度的影响，要远大于剪力的影响。max=l/hmax.,强度条件的应用：,分析梁所受外力，内力（画出弯矩图），依据弯矩图及截面沿梁轴线变化的情况，确定可能的危险面。对等截面梁，弯矩最大截面即为危险，对变截面梁，则需依据弯矩及截面变化情况，才能确定危险面。,确定危险点：对于拉、压力学性能相同的材料（如钢材），其最大拉应力点和最大压应力点具有同样的危险程度，因此，危险点显然位于危险面上离中性轴最远处。而对于拉、压力学性能不等的材料（如铸铁），则需分别计算梁内最大拉应力与压应力, 依据强度条件， max，进行强度计算。,+,+max,-max,-,+max,-max,一悬臂梁长为l=1m，在自由端作用一载荷P=20 kN；已知=140 MPa， =100 MPa，试选择一标准型号工字钢。,选用16号,按剪应力强度进行校核：查得,矩形截面悬臂梁如图所示，已知l=4m，h/b=2/3，q=10kN/m，=10MPa， 试确定此梁横截面的尺寸。,一原起重量为50KN的单梁吊车，其跨度l=10.5m,由45

7、a号工字钢制成。而现拟将其重量提高到Q=70KN，试校核梁的强度。若强度不够，再计算其可能承受的起重量。梁的材料为A3钢，许用应力=140MPa；电葫芦自重 G=15KN，暂不考虑梁的自重。,解：（1）做弯矩图，确定危险面,（2）计算最大弯曲正应力,(3)依据强度条件，确定最大起重量,梁的最大起重量为61.3KN, ,图示简支梁，受均布载荷q作用，梁跨度l=2m，=140MPa，q=2KN/m，试按以下两个方案设计轴的截面尺寸，并比较重量。,1.实心圆截面梁 2.空心圆截面梁，其内、外径之比 = 0.9。,解：画梁的弯矩图，,（1）据强度条件设计实心截面梁的直径d：,由弯矩图可知，梁中点截面为危险截面，其上弯矩值为：,取 d=42mm,（2）.确定空心截面梁的内、外径d1及D,取 D=60mm,则 d1=0.9D=54mm,（3）.比较两种不同截面梁的重量因材料及长度相同，故两种截面梁的重量之比等于其截面积之比。重量比为:,铸铁梁的横截面是T形，载荷和截面尺寸如图示，铸铁的许用拉应力为 t=30 MPa，许用压应力为c=60MPa。已知截面对形心轴z的惯性矩为 Iz=763 cm4，且

8、y1=52 mm。试校核梁的强度。,60MPa,30MPa,解：画弯矩图并求危面内力,T 字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的L=30MPa，y=60 MPa，其截面形心位于C点，y1=52mm，y2=88mm， Iz=763cm4 ，试校核此梁的强度。并说明T字梁怎样放置更合理？,画危面应力分布图，找危险点,校核强度,T字头在上面合理。,四. 提高梁强度的主要措施,欲降低梁内最大正应力，,选择合理的截面形状,通常可以从以下几方面采取措施：,依强度条件：max = Mmax / Wz ,在横截面积不变的前提下，将较多材料配置在远离中性轴的位，便可获取较大的抗弯截面模量,合理的截面形状，就是用最少的材料获得最大的抗弯截面模量的截面。,2.采用变截面梁或等强度梁,从强度角度考虑，理想的变截面梁应使所有截面上的最大弯曲正应力均相等，且趋近材料的许用应力，此种梁称为等强度梁。,阶梯轴为近似的等强度梁,等高等强度梁。,3.改善梁的受力状况,合理安排梁的约束及加载方式，可以降低梁内的最大弯矩，从而减小梁内最大弯曲正应力，这是提高梁强度的另一措施。,非对称截面梁的平面弯曲 开口薄壁截面的弯曲中心,几何方程与物理方程不变。,依此确定正应力计算公式。,剪应力研究方法与公式形式不变。,弯曲中心(剪力中心)：使杆不发生扭转的横向力作用点。 （如前述坐标原点O）,弯曲中心的确定:,(1)双对称轴截面，弯心与形心重合。,(2)反对称截面，弯心与反对称中心重合。,(3)若截面由两个狭长矩形组成，弯心与两矩形长中线交点重合。,(4)求弯心的普遍方法：,非对称截面梁发生平面弯曲的条件：外力必须作用在主惯性面内，中性轴为形心主轴，,若是横向力，还必须过弯曲中心。,

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