气体动理论

1、第第 七七 章章7.1 气体分子热运动的规律宏观物体由大量分子 （原子）组成；分子之 间存在一定的间隙。1、分子观点一、分子的热运动图像2、分子运动观点组成物质的分子在永不停息地作无规则运 动，此运动与气体温度密切相关，称热运动。 3、分子力观点xx小球落入其中一格 是一个偶然事件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .大量小球在空间的 分布服从统计规律小球数按空间 位置 x 分布曲线伽耳顿板演示二、统计规律性在一定的宏观条件下 大量偶然事 件在整体上表现出确定的规律，叫做统 计规律。7.2 平衡态及理想气体的状态方程研究与分子热运动有关的问题时，通 常将所研究的物体系统称为热力学系统， 简称系统。研究与分子热运动有关的问题时，通常 将所研究的物体系统称为热力学系统，简称 系统。在不受外界影响的条件下系统宏观性质 不随时间变化的状态，称为平衡态。一、几个基本概念二、理想气体状态方程M - 质量； - mol 质量V - 理想气体体积R-普适气体恒量其中：理想气体状态方程的另一种形式：其中：分子数

2、密度 玻耳兹曼常数其中：理想气体状态方程：一、理想气体的微观模型分子本身的线度分子之间的距离，以至可 以忽略；（重量也可忽略不计）除碰撞的一瞬间（10-8秒）分子与分子，分 子与器壁之间无相互作用；分子之间及与器壁的碰撞是完全弹性碰撞；结论：理想气体的模型是：自由地无规则运动 的弹性小球的集合。7.3 理想气体的压强和温度的统计意义二、统计假设（1）每个分子运动速度各不相同而且通 过碰撞不断发生变化；（2）分子数密度分布均匀（因研究的是 处在平衡态的气体，各处的分子数密度 应相等）；（3）分子向各方向运动机会相等，故分 子速度在各方向分量平均值相等=0三、理想气体的压强公式推导依据：理想气体微观模型和统计假设认为：压强是大量分 子碰撞器壁在单位时 间、作用于器壁单位 面积的平均冲量。个别间歇性；大量持续设一边长为 的容器，内有N个 每个质量为m的分子 XZYA2A11、一个分子与A1面碰撞一次给A1面的冲量作用在A1面的冲量2、一个分子在单位时间内作用在器壁上的冲力考虑沿X方向第i个分子动量变化依动量定理第i个分子所受冲量第i个分子的速度只须考虑沿X方向动量变化由于分子速率在几百米/秒

3、的数量级，分 子在单位时间内要多次与器壁A1碰撞。两次碰撞之间的时间间隔为第i个分子单位时 间内给A1面的冲量第i个分子单位时间 内给A1面的碰撞次数即器壁所受垂直于器壁 方向的平均冲力为：3、所有分子与A1面碰撞时给A1面的平均冲力4、气体的压强其中： 为分子数密度为速度的X方向分量的平方的平均值故：令：为分子平均平动动能，则此式称为理想气体的 压强公式注意：1）压强决定于分子数密度和分子的平均平动动能；2）为统计规律。四、温度统计意义理想气体温度公式1）此式说明了温度的统计意义-气体温度乃 是气体分子平均平动动能的量度。是大量分子 运动的集体表现。 2）此式给出了0K的经典物理意义-分子完全 停止运动的状态。说明：3）只要温度相同，不同气体的平均平动动能相等。4）常用温度公式求速率的均方根值：（结论正确吗？）方均根速率方均根速率可见: 恒定时，T也是恒定的,所以是反 映分子热运动剧烈程度的物理量,是 一种统计速率.例1、一容器中贮有理想气体，压强为 0.010mmHg 高。温度为270C，问在1cm3中这些分子动能之总 和为多少？求：EK=？解：分子平均平动动能为 故N个分子总动能

4、：例2、试推导道尔顿定律：同一容器中,有几种 不发生化学反应的气体,当它们处于平衡态时, 总压强等于各气体压强之和解：处于平衡态：温度T相同例3 ：在一个具有活塞的容器中盛有一定的气体。如 果压缩气体并对它加热，使它的温度从270C升到1770C ，体积减少一半，求气体压强变化多少？这时气体分 子的平均平动动能变化多少？解：7.4 麦克斯韦速率分布律一、速率分布函数单个分子速率分布- 偶然大量分子速率分布- 必然vv+v由氧分子速率分布图可以知道：实验证明：1）平衡态时,分布在不同区间的Ni不同，但 却是确定的。表示第i个速率间隔中的分子数占总分 子数的百分比或表示单个分子速率值落在该 区间内的概率。2）所有小面积的和恒等于一。3）当速率区间0 ，小矩形面积的端 点连成一函数曲线-分子速率分布函 数。在区间 作一小矩形，小矩 形的面积：按函数的定义故或：当分子速率分布函数的意义：由归一化条件：间隔内的分子数占总分子数的百分比分子速率在分布函数表示：在速率v的附近， 单位速率间隔内的分子数占总分 子数的百分比或单位速率间隔内 分子的分布几率。-几率（概率）密度二、麦克斯韦速率分布率式中：

5、T为热力学温度 m为分子的质量 k为波尔兹曼常数注意： 分子速率分布是两头小，中间大 1)2)速率分布曲线极大值对应的速率为最 概然速率，用vp表示。vp3）以上分布函数还可写成：内的分子数占总分子数的百分比还可写成：在v附近dv速率间隔内的分子数：满足归一化条件：4）温度越高，速率大的分子数越多温度越高，分布曲线中的最概然 速率vp越大，但归一化条件要求 曲线下总面积不变，因此分布曲 线宽度增大，高度降低。f(v)f(vp3 )vvpf(vp1 )f(vp2 )T1T3T25）同温度下，分子质量较小的气体中，速率 大的分子数较多。以下表达式的含义是什么f(v )f(vp )vvpv v+dvv1v2dN N面积= 出现在vv+dv 区间内的概率分子出现在 v1v2区间内 的概率三、三种统计速率1）平均速率-所有分子的速率的算术平均值dw为在v附近dv区间内分 子出现的几率 由分布函数：2）方均根速率-速率平方的平均值的根3）最可几速率2、都与温度平方根成正比，与质量平方根成反比；比较可得：1、都有概率表达式得到；例1设想有N个气体分子，其速率分布函数为试求: (1)常数A；(2)最可

6、几速率、平均速率和方 均根速率；(3)速率介于0 v0/3之间的分子数； (4)速率介于0 v0/3之间的气体分子的平均速率。解： (1)气体分子的分布曲线如图由归一化条件(2)最可几速率由决定，即平均速率方均速率方均根速率为(3)速率介于0 v0/3之间的分子数(4)速率介于0 v0/3之间的气体分子平均速率为玻耳兹曼推广：玻耳兹曼推广：当系统在保守力场中处于平衡当系统在保守力场中处于平衡态时，其中坐标介于位置区间态时，其中坐标介于位置区间x xx+dxx+dx、y yy+dyy+dy、 z zz+dzz+dz内；同时速度介于速度区间内；同时速度介于速度区间v vx xv vx x+dv+dvx x、v vy yv vy y+dv+dvy y、v vz zv vz z+dv+dvz z内的分子数为内的分子数为7.5 7.5 玻尔兹曼能量分布律玻尔兹曼能量分布律 一、玻耳兹曼能量分布律一、玻耳兹曼能量分布律保守力场中分子总能量：保守力场中分子总能量：麦克斯韦速度分布律麦克斯韦速度分布律因子因子分子的能量越大，其分子数就越小，即分子处于低能量 状态的概率较大结论：在温度为T的平衡态下，系

7、统在某一状态区间内 的粒子数与该状态区间的一个粒子的能量有关，在数 值上是与e-/kT成正比玻耳兹曼能量分布律n0表示在势能p为零处单位体积内各种速度的分子 总数系统中分子处于某一有限空间（系统中分子处于某一有限空间（位置区间在位置区间在x xx+dxx+dx、 y yy+dyy+dy、z zz+dzz+dz）内具有各种速度的分子数为）内具有各种速度的分子数为由麦克斯韦速度分布的归一化条件，即由麦克斯韦速度分布的归一化条件，即则则二、重力场中微粒按高度的分布二、重力场中微粒按高度的分布n no o为为z = 0z = 0处的分子数密度，处的分子数密度，n n为为z z高度的分子数密度高度的分子数密度分子热运动：使分子趋于均匀分布分子热运动：使分子趋于均匀分布重力：使分子趋于向地面降落重力：使分子趋于向地面降落选海平面为势能零点选海平面为势能零点-气体分子按势能的分布律气体分子按势能的分布律-等温气压公式等温气压公式结论：结论：随着高度升高，气体越稀薄，压强也越低p po o为为z = 0z = 0处的压强；处的压强；p p为为z z高度的压强高度的压强 例例11已知拉萨的高度为海拔已知

8、拉萨的高度为海拔3600m3600m。若大气温度处处相若大气温度处处相 同，且为同，且为2727，问拉萨的压强为多少？（空气摩尔质量，问拉萨的压强为多少？（空气摩尔质量 为为2.89102.8910-2-2kgkgmolmol，海平面处的压强为海平面处的压强为1.013101.013105 5 PaPa）解：由题意知空气的温度为解：由题意知空气的温度为因此位于因此位于3600m3600m高空的压强只有海平面处压强的高空的压强只有海平面处压强的0.66%0.66%T T2732732727300(K)300(K)拉萨的高度拉萨的高度 z z3600m3600m7.6 能量均分定理引言：前面我们研究气体动能时把分子看作弹性小球 的集合，我们发现当我们用这一模型去研究单原子气 体的比热时，理论与实际吻合得很好，但当我们用这 一模型去研究多原子分子时，理论值与实验值相差甚 远。1857年克劳修斯提出：要修改模型，不能将所有 分子都看成质点，对结构复杂的分子，我们不但要考 察其平动，而且还要考虑分子的转动、振动等。下面我们来考察包括平动、转动、乃至包 括振动在内的理想气体能量。 一、自由度1、何

9、谓自由度1、何谓自由度-决定物体在空间位置的独 立坐标数 举例：质点在三维空间运动三个独立坐标刚体（既有平动又有转动） 决定质心-X、Y、Z决定转轴但：确定角位置确定一个刚体位置要三个平动自由度、 三个转动自由度共计六个自由度XYZABCXYZo注意：独立坐标数是能确定物体做自由运动的 最少坐标数，当物体运动受到一定限制或约束 时，自由度减少。例：质点限制在某一平面内运动（如图）XYZ（多了一个方程）有固定轴的门-因转轴 固定，质心相对门的位 置固定，所以结论：一个自由度对应着一个独立的坐标 2）气体分子的运动自由度理想气体的刚性分子 A：单原子分子-3个自由度 B：双原子分子 决定质心-3个自由度 确定转轴方位-2个自由度C：三原子以上的分子-XYZ 6个自由度-视为刚体实际气体-不能看成刚性分子，因原子 之间还有振动。XYZCc例如：氢气（H2）在高温下两氢原子之间就有 振动，氯气（Cl2）在常温下便有振动。这时可 以看作由两质点组成的弹性谐振子。对双原子分子-6个自由度（多了 一个振动自由度） 对多原子系统（N3）3个平动自由度（t）3个转动自由度（r） （3N-6）个振动自由度（s）3N个自由度有了自由度的概念，下面介绍分子热 运动的能量的统计规律。二、能量按自由度均分原理分析单原子分子的平均平动动能：两边同乘上式表示沿各坐标运动的平均平动动能都相 等，都等于这说明，分子的平均平动动能3/2kT是 均匀地分配在对应的每一个自由度的运动 上的。即对应每一个自由度，就有对应的 一份能量1/2kT。麦克斯韦将以上情况推广到分子的转动和振动。即对应于转动和振动的每个自由度 的运动也都有一份能量- 1/2kT。这就是能量均分原理能量均分原理-在热平衡状态下，对应气体、 液体、固体分子中的任何一种运动形式的自由

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