非线性数学模型的线性化

1、1第 2 章 辅导机械系机械系统统机械旋转系统如图所示。为一圆柱体被轴承支撑并在黏性介质中转动。当力矩作用于 系统时，产生角位移。求该系统的微分方程式。 解解 根据牛顿第二定律，系统的诸力矩之和为22s)()()(T-T(t)dttdJtTtd式中：J转动系统的惯性矩；扭矩，)()(TstKtK扭簧的弹性系数；黏性摩擦阻尼力矩，B黏性摩擦系数。dttdBtTd)()(因此该系统的运动方程式为（22）)()()()(22 tTtKdttdBdttdJ电电气系气系统统电气系统的基本元件是电阻、电容、电感以及电动机等，支配电气系统的基本定律是 基尔霍夫电路定律。 图为一具有电阻电感电容的无源网络，求以电压 u 为输入，uc为输出的系统微分 方程式。 解解 根据基尔霍夫电路定律，有CuRidtdiLtu)(而 ，则上式可写成如下形式dtduCic（23）)(22 tuudtduRCdtudLCCcc上式表示了 RLC 电路的输入量和输出量之间的关系。编写控制系统微分方程的一般步骤为： (l) 首先确定系统的输入量和输出量；JTdTsT图 机械旋转系统LRCucu图 RLC 无源网络2(2) 将

2、系统划分为若干个环节，确定每一环节的输入量和输出量。确定输入量和输出 量时，应使前一环节的输出量是后一环节的输入量。 (3) 写出每一环节(或元件)描述输出信号和输入信号相互关系的运动方程式；找出联系 输出量与输入量的内部关系，并确定反映这种内在联系的物理规律。而这些物理定律的数 学表达式就是环节(或元件)的原始方程式。在此同时再做一些数学上的处理，如非线性函 数的线性化。考虑忽略一些次要因素。使方程简化的可能性和容许程度。(4) 消去中间变量，列出各变量间的关系式。设法消去中间变量，最后得到只包含输 入量和输出量的方程式。于是，就得到所要建立的元件或系统的数学模型了。非非线线性数学模型的性数学模型的线线性化性化1、一般运动方程式化为增量方程式的步骤 以下式为例)()()()(22 tkydttdyBdttydMtF(1) 确定额定点，写出静态方程式：设额定点为(F。 ，y。)，静态方程式为 Ky。=F。. (2) 将原运动方程式中的瞬时值用其额定点值和增量之和表示 y=y。+y；FF。+F。FFyykdtyydBdtyydM000 202 )()()(3) 将演化后的运动方程式与静态

3、方程式相减，其结果即为增量方程式FykdtydBdtydM222、非线性函数的线性化 线性化这一概念用数学方法来处理，就是将一个非线性函数在其工作点展开成泰勒 （Taytor）级数，然后略去二次以上的高阶项，得到线性化方程，用来代替原来的非线性 函数。 (1) 一元函数的线性化 设系统的工作点为（x0, y0） ，那么 y=f(x)在额定工作点附近展开成泰勒级数为2 02200)()( ! 21)()()(00xxdxxfdxxdxxdfxfyxx因函数 y=f(x)在工作点很小的范围内变化，可忽略二次以上的各项，则方程为)()()()(00000xxkyxxdxxdfxfyx这就是非线性元件或系统的线性化数学模型。 线性化有如下特点： (l) 线性化是相对某一额定工作点进行的。工作点不同，得到线性化微分方程的系数也 不同。3(2) 若使线性化具有足够精度，调节过程中变量偏离工作点的偏差信号必须足够小。 (3) 线性化后的运动方程是相对额定工作点以增量来描述的。因此，可以认为其初始 条件为零。 (4) 线性化只能运用没有间断点、折断点和非单值关系的函数，对具有本质非线性元 件的非线性系

4、统是不适用的。传递传递函数的定函数的定义义在线性定常系统中，初始条件为零时，系统(或元件)输出的拉氏变换 Xc(s)和输入的拉 氏变换 Xr(s)之比称为系统(或元件)的传递函数，即)()( )()()(sXsX txLtxLsGrcrc或Xc(s)=G(s)Xr(s) 图 传递函数图示 若令输入信号为单位脉冲函数 (t)，其拉氏变换为 Xr(s)1，则根据上式得 Xc(s)G(s)传递函数是系统或环节数学模型的另一种形式，它反映了系统输出变量与输入变量之 间的关系。它只和系统本身的特性参数有关，而与输入量无关。 系统传递函数是复变量 s 的函数，常常可以表达成如下形式或 传递传递函数的性函数的性质质1传递函数只与系统或元件自身的内部结构和参数有关，而与输入量和初始条件等外 部因素无关。 2传递函数是复变量 s 的有理真分式，分母多项式的次数 n 高于分子多项式的次数 m(这是控制系统的物理性质决定的)，而且其所有系数均为实数(因为元件参数只能是实数)。3传递函数等于单位脉冲函数输入时的系统输出响应的象函数，或者说传递函数的拉 氏反变换是系统的单位脉冲响应。 4在复数平面内，一定的传递

5、函数有一定的零，极点分布图与之相对应。 5分母中的最高阶若为 n，则称系统为 n 阶系统。 6. 传递函数只能用于研究单输入、单输出系统，它只能反映输入和输出间的关系，并 且对于非零初始状态的系统运动特性不能反映。G(s)Xr(s)Xc(s)4典型典型环节环节及其及其传递传递函数函数(一一) 放大环节放大环节(比例环节比例环节)放大环节的输出量以一定比例复现输入量，而毫无失真和时间滞后现象。设输入量为 xr(t)，输出量为 xc(t)，则其运动方程式为 xc(t)=Kxr(t) 其传递函数为 G(s)=Xc(s)/Xr(s)=K 式中 K放大系数。放大环节的共同特点是传递函数为一常数。纯放大环节是很少见的，多数是忽略某些 次要因素后视为放大环节。几乎所有控制系统都有放大环节，主要用于电压、电流、力、 速度等的放大或减小。(二二) 惯性环节惯性环节在惯性环节中，总含有储能元件，以致使输出不能立即复现突变型式的输入，而是落 后于输入。设输入为 xr(t)，输出为 xc(t)，则其运动方程式为)()()(tKxtxdttdxTrcc其传递函数为 G(s)=Xc(s)/Xr(s)=K/(Ts+

6、1) 式中 T环节的时间常数；K环节的放大系数。惯性环节的特性由时间常数 T 和放大系数 K 决定。惯性环节的输出量和输入量的量纲 可能是相同的，也可能是不相同的。K 等于输出量与输入量的稳态值之比。图 2-9 电气惯性环节(三三) 积分环节积分环节积分环节的输出量 xc(t)的变化率和输入量 xr(t)成正比，即其传递函数为G(s)=Xc(s)/Xr(s)=K/s (四四) 振荡环节振荡环节振荡环节包含两种形式的储能元件，并且所储存的能量相互转换。如机械位能和动能 之间，电能和磁能之间的转换等。因此，使输出量具有振荡的性质。设输出量为 xc，输入 量为 xr，振荡环节的运动方程式为rcc kcKxxdtdxTdtxdT22 2其传递函数为1)(22sTsTKsGk5令，可写成TTk212)(22TssTKsG式中 T时间常数；阻尼比；K放大系数。 显然，决定振荡环节性能的参数有放大系数 K，时间常数 T 和阻尼比 。(五五) 一阶微分环节一阶微分环节一阶微分环节有理想微分环节和实际微分环节之分。理想微分环节的输出 x(t)为输入 xr(t)的微分。其运动方程式为则传递函数为G(s)=

7、Xc(s)/Xr(s)=Ks 从数学观点来看，微分是一个求变化率的过程。因此，任何一个能指示出个量的变 化速率的装置都可视为微分环节。实际微分环节的传递函数常带有惯性环节，即G(s)=Xc(s)/Xr(s)=Ks/(Ts+1) 微分环节是自动控制系统中经常用于改善系统性能的环节.(六六) 二阶微分环节二阶微分环节二阶微分环节的运动方程为)()(2)()(22 2txdttdx dttxdKtxrrr c相应地二阶微分环节的传递函数为) 12()(22ssKsG可见二阶微分环节的输出不仅决定于输入量本身，还决定于它的一阶导数和二阶导数。 其特性由 K、 和 三个参数来表示。该环节主要用来帮助改善系统的动态品质。(七七) 时滞环节时滞环节在实际控制系统中常遇到时滞环节，即输入信号加入后，输出要隔一定时间 才能复 现输入信号，时滞环节的运动方程为xc(t)=xr(t-) 根据时域位移定理，其传递函数为srcesXsXsG)()()(图 2-11 时滞环节系系统动态结统动态结构构图图控制系统的动态结构图一般由如下四种基本单元组成，它们是 （1）信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号的传递方向，信

8、号线上标信号的原函数 或象函数 。 （2）方框：方框中为元部件的传递函数。它起着对信号的运算和转换作用 。6（3）引出点：表示信号引出或测量位置，从同一点引出的信号完全相同，如图 (c)所 示。 （4）综合点（比较点）：对两个以上信号进行加减运算， “”号表示相加， “”号 表示相减，如图 (d)所示。图 组成动态结构图的基本单元2. 结构图的运算法则结构图的运算法则系统各环节之间一般有三种联接方式：串联、并联和反馈联接。 （1）串联运算法则）串联运算法则 n 个环节串联的总传递函数等于各个环节的传递函数之积。（2）并联运算法则）并联运算法则 n 个同向环节相并联的总传递函数等于各环节的传递函数之代数和。（3）反馈运算法则）反馈运算法则 具有反馈环节的系统的总传递函数等于前向通路的传递函数除以 1 加(或减)前向通路 和反馈通路两者传递函数的乘积。即 （负反馈） )()(1)()(sHsGsGs（正反馈） )()(1)()(sHsGsGs（4）比较点移位法则和引出点移位法则）比较点移位法则和引出点移位法则 在复杂的反馈系统中，除了主反馈之外，常有互相交错的局部反馈。为了便于运算， 常通

9、过移动比较点和引出点的方法，将系统结构作些变化，以减少局部反馈回路。这叫做 方框图变换(或简化)。方框图变换的原则是：变换前后的输出信号应不变。U(s)(a)U(s)U(s)(c)U(s)U(s)R(s)R(s)(d)U(s)C(s)G(s)(b)7引出点的前后移动引出点的前后移动 其等效变换结构图如图 所示。(a) 引出点前移(b) 引出点后移图 引出点前后移动等效变换3. 有扰动参与作用下的闭环系统有扰动参与作用下的闭环系统当给定量 R(s)和扰动量 N(s)两个输入量同时作用于线性系统时，可对每一输入量分别 求出输出量，然后应用叠加原理，将两者叠加而成系统的总输出量。 （1）在 R(s)作用下的闭环传递函数 设 N(s)0，应用反馈运算法则得闭环传递函数)()()(1)()( )()()(2121 sHsGsGsGsG sRsCsR R故 )()()()(1)()()()()(2121sRsHsGsGsGsGsRssGRR（2）在 N(s)作用下的闭环传递函数 应用反馈运算法则得闭环传递函数为)()()(1)( )()()(122 sHsGsGsG sNsCsN N故 )()()()(1)()()()(122sNsHsGsGsGsNssCNN8（3）合成输出响应 根据叠加原理，给定量和扰动量两种输入同时作用下的系统合成响应为)()()()(1)()()()()(1)()()()()(2122121sNsHsGsGsGsRsHsGsG

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