数值分析Numerical Analysis

1、1 数值分析  2 教材   (        庆扬 、王能超、易大义  编        数值分析   参考书目  (  (数值方法 （   .  . （电子工业出版社）    现代数值分析  李庆扬、易大义、王能超   编著（高等教育出版社）   数值分析及其     姜键飞 、胡良剑、唐   俭   编著（科学出版社  2004）  3 第一章   绪    论   值分析的研究对象与特点   值计算的误差   差定性分析与避免误差危害  4 值分析的研究对象与特点   解决现代工程技术问题的基本过程如左图   数值分析是研究适合于在计算机上使用的实际可行、理论可靠、计算复杂性好的数值计算方法。  认识实际问题 &n

2、bsp;数值计算方法  数学模型  程序设计  上机计算求出结果  5 数值分析的特点：   第一、面向计算机，要根据计算机特点提供实际可行的算法。   第二、有可靠的理论分析，数值分析中的算法理论主要是连续系统的离散型方程数值求解。   第三、有良好的复杂性及数值试验可重复性。复杂性包括时间复杂性和空间复杂性。   第四、有数值实验。  6 两组数学模型的计算问题   例   求解线性方程组         ，其中   为 3阶可逆方阵，                 ；   第三、有良好的复杂性及数值试验可重复性。复杂性包括时间复杂性和空间复杂性。   第四、有数值实验。  ,( 321 组数学模型的计算问题   例   求解线性方程组         ，

3、其中   为 3阶可逆方阵，                 ；   求代数方程组                  在      上的根     ；   已知           为         上的直线，满足        ，            ，            ，求        ；  ,( 321   1,0*x)( , 10 (  11 )(  ),( 10  )(组数学模型的计算

4、问题   计算定积分   解常微分方程初值问题   求代数方程组                  在      上的  根     ；   已知           为         上的直线，满足        ，            ，            ，求        ；  0383 2 1,0*x)( , 10 (  11 )(  ),( 10  )( ba  )1( 00()y x yy x y 9 计算定积分   解常微分方程初值

5、问题   ba  )1( 00()y x yy x y 10 本课程的主要内容   误差理论   插值法   曲线拟合   数值积分与数值微分   线性方程组的直接法   线性方程组的迭代法   非线性方程求根   常微分方程初值问题的数值解  11 学习本课程需要的基础   微积分（数学分析）   线性代数（高等代数）  12 值计算的误差   13 认识实际问题  测量误差  数值计算方法  数学模型  程序设计  上机计算求出结果  模型误差  方法误差  舍入误差  14 分类   测量误差或观测误差   由数据观测产生的误差   模型误差   数学模型是实际问题的抽象和简化，其间存在误差   截断误差或方法误差   由于问题不能精确求解，近似计算的方法所引起   舍入误差

6、   计算机实现计算时，机器的有限字长所造成  15 差与有效数字   定义 1  设    是某量的准确值，  是    的一个近似值，则称             为近似值的误差或绝对误差。       的绝对值的上界，即满足             的   ，  称为近似值    的误差限。   误差与精确值的比值称为相对误差。即  ，如果                   ，则    称为相对误差限。   实际使用中以                 为相对误差。   &nb

7、sp;             x*e x x*e * *( ) /re x x x *( ) /rx x x r* * *( ) /re x x x* 误差与有效数字   设有两个量 ,              ，                则有  虽然    比    大 4倍，但  比                      要小的多。   误差与精确值的比值称为相对误差。即  ，如果                   ，则    称为相对误差限。  

8、; 实际使用中以                 为相对误差。                 x*( ) /re x x x *( ) /rx x x r* * *( ) /re x x x110 x 510 0 0 000;1,10 * yx *y *x %* 10/ * 7 例题 1 设有两个量 ,              ，                则有  虽然    比    大 4倍，但  比                      要小的多。  110 x 510 0 0 000;

9、1,10 * yx *y *x %* 10/ * 8 例题 2 当准确值    有多位数时，常常按四舍五入的原则得到    的前几位近似值    ，如   取 3位，   取 5位，   它们的误差都不超过末位数字的半个单位，即：  x. 1 5 9 2 6  3*3 5*5 19 例题 2 若近似值     的误差限是某一位的半个单位，该位到     的第一位非零数字共有    ，则称    有    位有效数字，其数学表示为：   取 5位，   它们的误差都不超过末位数字的半个单位，即：  5*5 *x*x n*x n)1010(10 )1(121* 20 有效数字的定义   若近似值     的误差限是某一位的半个单位，该位到     的第一位非零数字共有    ，则称 &

10、nbsp;  有    位有效数字，其数学表示为：  其中                    为 09中的一个数字，且          ，   *x*x n*x n)1010(10 )1(121* ),1( i 01 a *10. 5 10 21 例题 3 按四舍五入原则写出下列各数具有 5位有效数字的近似数 : 按定义，上述各数具有 5位有效数字的近似数分别是：     2 例题 4 重力常数 g，如果以 m/g以 km/g们都具有 3位有效数字，因为：   （ 1） m=0,n=3 （ 2)  m=-3,n=3 结论：有效位数与小数点位臵无关。   g 29 . 8 0 0 . 5 1 050 . 0 0 9 8 0 0 . 5 1 0 理 1 设近似值 x*表示为  若 x*具有 其相对误差限为  反之，若

11、x*的相对误差限  则 x*至少具有  * 1 ( 1 )121 0 ( 1 0 1 0 )a a a * ( 1 )11 102nr a* ( 1 )11 102 ( 1 )nr a24 定理 1 由 x*的表达式可得：  当 x*有  反之，若 x*的相对误差限  则 x*至少具有  * ( 1 )11 102 ( 1 )nr a*111 0 ( 1 ) 1 0 x ( 1 )11* 0. 5 10 110* 10 2a a 25 定理 1的证明   由 x*的表达式可得：  当 x*有  反之，由  结论成立。  *111 0 ( 1 ) 1 0 x ( 1 )11* 0 . 5 1 0 110* 1 0 2a a * ( 1 )111* * ( 1 ) 1 0 1 02 ( 1 )x x a a 0 26 例题 5   要使     的近似值的相对误差限小于 要取几位有效数字？   由定理 1，     &nb

12、sp;                   由于  所以 n=4，因此有：   反之，由  结论成立。      20* ( 1)11 102 4  ( 1 )111* * ( 1 ) 1 0 1 02 ( 1 )x x a a 10  0 27 例题 5   要使     的近似值的相对误差限小于 要取几位有效数字？   由定理 1，                         由于  所以 n=4，因此有：         20* ( 1)11 102 4   * 3 30 . 1 2 5 1 0 1 0 0 . 1 % 数值运算的误差估计   设两个近似数    和     ，其误差限分别为  和          ，他

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