集合论(拓扑学)

1、集合与映射关系选择公理基数与序数集合与映射之记号我我我们们们将将将用用用大大大写写写英英英文文文字字字母母母表表表示示示集集集合合合，小小小写写写英英英文文文字字字母母母表表表示示示集集集合合合的的的元元元素素素，花花花体体体大大大写写写英英英文文文字字字母母母表表表示示示集集集合合合的的的子子子集集集族族族；既既既表表表示示示空空空集集集，又又又表表表示示示空空空子子子集集集族族族（不不不含含含任任任何何何子子子集集集的的的子子子集集集族族族）；集集集合合合X的的的子子子集集集A的的的补补补集集集（或或或者者者叫叫叫余余余集集集）用用用XA或或或Ac表表表示示示；2X表表表示示示由由由集集集合合合X的的的所所所有有有子子子集集集构构构成成成的的的子子子集集集族族族，称称称为为为X的的的幂幂幂集集集，有有有时时时也也也用用用PX表表表示示示集合与映射关系选择公理基数与序数集合与映射之De Morgan 公式Theorem（De Morgan公公公式式式）设设设A是是是集集集合合合X的的的一一一个个个子子子集集集族族族，则则则 AAA!c=AAAc, AAA!c=AAAc.(1)我我我们

2、们们规规规定定定：空空空子子子集集集族族族的的的并并并是是是空空空子子子集集集，空空空子子子集集集族族族的的的交交交是是是全全全集集集集合与映射关系选择公理基数与序数集合与映射之有限笛卡儿积DefinitionX Y = (x,y)|x X,y Y叫叫叫X,Y的的的笛笛笛卡卡卡儿儿儿积积积类类类似似似地地地可可可定定定义义义有有有限限限个个个集集集合合合的的的笛笛笛卡卡卡儿儿儿积积积Examples设设设X = a,b,Y = 1,2,3，则则则X Y = (a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3).Example平平平面面面R2是是是实实实数数数集集集R与与与自自自己己己的的的笛笛笛卡卡卡尔尔尔集集集，即即即R2= R R；三三三维维维空空空间间间是是是三三三个个个实实实数数数集集集的的的笛笛笛卡卡卡儿儿儿积积积，也也也可可可看看看成成成是是是平平平面面面与与与实实实数数数集集集的的的笛笛笛卡卡卡儿儿儿积积积，即即即R3= R R R = R2 R一一一般般般地地地，Rn=nz|R R集合与映射关系选择公理基数与序数集合与映射之集合运算Theorem关关关

3、于于于集集集合合合的的的运运运算算算，我我我们们们有有有（1）A (B C) = (A B) (A C)；（2）A (B C) = (A B) (A C)；（3）A (BC) = (A B)(A C)；（4）(A B) (C D) = (A C) (B D)= (A D) (B C);（5）(A B) (C D)= (A C) (B D) (A D) (B C);（6）(A B)(C D) = (AC) B A (BD)；集合与映射关系选择公理基数与序数集合与映射之映射Theorem设设设f : X Y，A是是是X的的的一一一个个个子子子集集集族族族，B是是是Y的的的一一一个个个子子子集集集族族族，则则则（1）f?TAAA?TAAf (A)；（2）f?SAAA?=SAAf (A)；（3）f1?TBBB?=TBBf1(B)；（4）f1?SBBB?=SBBf1(B)注注注意意意，（1）的的的等等等式式式一一一般般般不不不成成成立立立例例例如如如R上上上的的的函函函数数数f (x) = sinx把把把A = 0,2和和和B = 4,6都都都映映映成成成1,1，但但但f (A B) = ，f

4、(A) f (B) = 1,1集合与映射关系选择公理基数与序数集合与映射之映射与补集关关关于于于映映映射射射与与与补补补集集集的的的关关关系系系，我我我们们们有有有：Theorem设设设f : X Y，A X,B Y，则则则（1）f1(Bc) =?f1(B)?c；（2）若若若f 是是是单单单射射射，则则则f (Ac) f (A)c；若若若f 是是是满满满射射射，则则则f (A)c f (Ac)在在在（2）中中中，如如如果果果f 不不不是是是单单单射射射，则则则f (Ac) f (A)c不不不一一一定定定成成成立立立，比比比如如如常常常值值值映映映射射射就就就是是是如如如此此此同同同理理理，当当当f 不不不是是是满满满射射射时时时f (A)c f (Ac)也也也不不不一一一定定定成成成立立立另另另外外外，（2）中中中的的的等等等式式式一一一般般般也也也不不不成成成立立立集合与映射关系选择公理基数与序数集合与映射之集合的原像关关关于于于集集集合合合在在在映映映射射射下下下的的的像像像与与与原原原像像像，我我我们们们有有有：Theorem设设设f : X Y，A X,B Y，则则则（1）A

5、f1f (A)当当当f 是是是单单单射射射时时时，A = f1f (A)；（2）f?f1(B)? B当当当f 是是是满满满射射射时时时，f?f1(B)?= B思思思考考考：举举举例例例说说说明明明（1）、（2）中中中的的的等等等式式式一一一般般般不不不成成成立立立集合与映射关系选择公理基数与序数关系之等价关系Definition设设设X是是是一一一个个个集集集合合合，R X X叫叫叫X的的的一一一个个个关关关系系系如如如果果果(x,y) R，就就就称称称x,y有有有关关关系系系R，记记记为为为xRy如如如果果果关关关系系系R满满满足足足以以以下下下三三三个个个条条条件件件，则则则称称称此此此关关关系系系为为为等等等价价价关关关系系系：（1）自自自反反反性性性：x X,xRx；（2）对对对称称称性性性：若若若xRy，则则则yRx；（3）传传传递递递性性性：若若若xRy, yRz，则则则xRz等等等价价价关关关系系系一一一般般般用用用表表表示示示；设设设X = 1,2,3，则则则R = (1,1),(2,2),(3,3),(1,3),(3,1)是是是X上上上的的的一一一个个个等等等价价价关

6、关关系系系；同同同样样样设设设X = 1,2,3，则则则R = (1,1),(2,2),(3,3),(1,3)不不不是是是X上上上的的的等等等价价价关关关系系系，因因因为为为对对对称称称性性性不不不满满满足足足集合与映射关系选择公理基数与序数关系之商集Definition设设设X是是是一一一个个个集集集合合合，是是是X上上上的的的一一一个个个等等等价价价关关关系系系，x X称称称x = y X|x y为为为一一一个个个等等等价价价类类类等等等价价价类类类与与与代代代表表表元元元的的的选选选取取取无无无关关关，即即即：y x，有有有x = y；X的的的等等等价价价类类类构构构成成成X的的的一一一个个个划划划分分分，即即即：X的的的任任任意意意两两两个个个等等等价价价类类类要要要么么么恒恒恒等等等，要要要么么么不不不相相相交交交，而而而且且且X =SxXx等等等价价价类类类的的的集集集合合合X/ x|x X称称称为为为X关关关于于于等等等价价价关关关系系系的的的商商商集集集，映映映射射射p : X X/ ，x 7 x叫叫叫自自自然然然投投投影影影设设设X,R如如如例例例，则则则X被被被等等

7、等价价价关关关系系系R分分分成成成两两两个个个等等等价价价类类类1 = 1,3和和和2 = 2，商商商集集集为为为X/R = 1,2，自自自然然然投投投影影影p为为为p(1) = p(3) = 1, p(2) = 2集合与映射关系选择公理基数与序数关系之偏序集Definition设设设R是是是集集集合合合X上上上的的的一一一个个个关关关系系系若若若xRy和和和yRx不不不能能能同同同时时时成成成立立立（除除除非非非x = y），则则则称称称R是是是反反反对对对称称称的的的X上上上的的的一一一个个个偏偏偏序序序R是是是X上上上的的的一一一个个个自自自反反反、传传传递递递和和和反反反对对对称称称的的的关关关系系系给给给定定定偏偏偏序序序关关关系系系的的的集集集合合合称称称为为为偏偏偏序序序集集集设设设X = 1,2,3，R =(1,1),(2,2),(3,3),(3,1),(1,2),(3,2)，则则则R是是是X上上上的的的偏偏偏序序序关关关系系系，R0= (1,1),(2,2),(3,3),(3,1)也也也是是是偏偏偏序序序关关关系系系，(X,R)和和和(X,R0)是是是两两两个个个不不

8、不同同同的的的偏偏偏序序序集集集注注注意意意，R000= (1,1),(2,2),(3,3),(3,1),(1,2)不不不是是是偏偏偏序序序关关关系系系，因因因为为为不不不满满满足足足传传传递递递性性性集合与映射关系选择公理基数与序数关系之偏序的表示下下下面面面我我我们们们一一一般般般用用用?表表表示示示偏偏偏序序序关关关系系系，(X,?)表表表示示示偏偏偏序序序集集集在在在偏偏偏序序序关关关系系系自自自明明明的的的情情情况况况下下下，可可可用用用X表表表示示示偏偏偏序序序集集集而而而省省省掉掉掉偏偏偏序序序关关关系系系?对对对x,y X，x ? y读读读作作作x小小小于于于等等等于于于y或或或y大大大于于于等等等于于于x；x y表表表示示示x ? y但但但x 6= y，读读读作作作x小小小于于于y或或或y大大大于于于x；x ? y表表表示示示x ? y不不不成成成立立立注注注意意意，x ? y不不不成成成立立立并并并不不不表表表示示示x大大大于于于y在在在上上上例例例中中中，如如如果果果记记记?为为为R0，则则则1 ? 2不不不成成成立立立，但但但同同同时时时1 ? 2也也也不不不成

9、成成立立立，因因因为为为1 ? 2的的的意意意思思思是是是“2 ? 1且且且2 6= 1”，但但但(2,1) / R0集合与映射关系选择公理基数与序数关系之子偏序、逆偏序Definition设设设(X,?)是是是偏偏偏序序序集集集，A X，则则则?A= (A A) ?是是是A上上上的的的一一一个个个偏偏偏序序序，称称称(A,?A)为为为(X,?)的的的偏偏偏序序序子子子集集集如如如实实实数数数集集集合合合R关关关于于于通通通常常常的的的大大大小小小关关关系系系是是是一一一个个个偏偏偏序序序集集集，有有有理理理数数数集集集Q关关关于于于通通通常常常的的的大大大小小小关关关系系系就就就是是是R的的的偏偏偏序序序子子子集集集设设设?是是是X上上上的的的一一一个个个偏偏偏序序序，则则则?1= (x,y)|(y,x) ?也也也是是是一一一个个个偏偏偏序序序，称称称为为为?的的的逆逆逆偏偏偏序序序或或或对对对偶偶偶偏偏偏序序序，常常常记记记为为为?集合与映射关系选择公理基数与序数关系之积偏序Definitions设设设(Xi,?i)，i = 1,2是是是两两两个个个非非非空空空偏偏偏序序序集集集，

10、?是是是X = X1 X2上上上的的的关关关系系系，定定定义义义如如如下下下：(x1,x2) ? (y1,y2) x1?1y1,x2?2y2,则则则?是是是X上上上的的的一一一个个个偏偏偏序序序关关关系系系，常常常记记记为为为?1 ?2，称称称为为为积积积偏偏偏序序序，偏偏偏序序序集集集(X1 X2,?1 ?2)称称称为为为偏偏偏序序序集集集(X1,?1)与与与(X2,?2)的的的积积积集合与映射关系选择公理基数与序数关系之全序集Definition对对对于于于一一一个个个偏偏偏序序序集集集(X,?)，x,y X，如如如果果果x ? y或或或者者者y ? x，则则则称称称x与与与y可可可比比比较较较，否否否则则则称称称x和和和y不不不可可可比比比较较较Definitions如如如果果果一一一个个个偏偏偏序序序集集集的的的任任任意意意两两两个个个元元元都都都可可可比比比较较较，则则则称称称该该该偏偏偏序序序集集集是是是全全全序序序集集集或或或线线线性性性序序序集集集实实实数数数集集集R、有有有理理理数数数集集集Q和和和自自自然然然数数数集集集N关关关于于于通通通常常常的的的大大大小小小偏

11、偏偏序序序关关关系系系都都都是是是全全全序序序集集集，而而而R R关关关于于于R的的的通通通常常常偏偏偏序序序的的的积积积偏偏偏序序序则则则不不不是是是全全全序序序集集集全全全序序序集集集的的的逆逆逆偏偏偏序序序集集集是是是全全全序序序集集集，全全全序序序集集集的的的子子子集集集是是是全全全序序序子子子集集集。全全全序序序集集集的的的乘乘乘积积积不不不必必必是是是全全全序序序集集集，如如如实实实数数数集集集之之之积积积不不不是是是全全全序序序集集集。集合与映射关系选择公理基数与序数关系之存在非全序集设设设A是是是集集集合合合X的的的一一一个个个子子子集集集族族族，则则则A关关关于于于集集集合合合的的的包包包含含含关关关系系系“A ? B A B”是是是一一一个个个偏偏偏序序序集集集，记记记为为为(A,)特特特别别别地地地，(PX,)是是是一一一个个个偏偏偏序序序集集集当当当X至至至少少少含含含两两两个个个点点点时时时，(PX,)不不不是是是全全全序序序集集集正正正整整整数数数集集集N关关关于于于整整整除除除偏偏偏序序序“?= (m,n) N N : m|n“也也也是是是一一一个个个偏偏

12、偏序序序集集集，但但但不不不是是是全全全序序序集集集集合与映射关系选择公理基数与序数关系之偏序图简简简单单单的的的偏偏偏序序序集集集往往往往往往可可可用用用直直直观观观图图图表表表示示示出出出来来来，可可可比比比较较较的的的元元元用用用线线线段段段连连连接接接，线线线段段段上上上端端端的的的元元元大大大于于于下下下端端端的的的元元元逆逆逆序序序集集集(X,?)的的的图图图形形形恰恰恰好好好是是是原原原偏偏偏序序序集集集(X,?)的的的图图图形形形上上上下下下颠颠颠倒倒倒而而而得得得到到到的的的设设设X = 1,2,3，R = (1,1),(2,2),(3,3),(3,1),(1,2),(3,2),R0= (1,1),(2,2),(3,3),(3,1),则则则偏偏偏序序序关关关系系系R与与与R0分分分别别别可可可用用用下下下面面面两两两个个个图图图来来来表表表示示示集合与映射关系选择公理基数与序数关系之偏序图思考题思思思考考考：试试试写写写出出出由由由下下下图图图表表表示示示的的的偏偏偏序序序集集集集合与映射关系选择公理基数与序数关系之最元与极元Definition设设设X是是是一一一个

13、个个偏偏偏序序序集集集，A X，a X（1）a是是是A的的的最最最大大大元元元 a A且且且x A有有有x ? a；（每每每个个个元元元都都都比比比a小小小）（2）a是是是A的的的极极极大大大元元元 a A且且且x A，若若若a ? x，则则则a = x；（每每每个个个元元元都都都不不不比比比a大大大）（3）a是是是A的的的一一一个个个上上上界界界 x A，x ? a；（4）a是是是A的的的上上上确确确界界界（记记记为为为supA） a是是是A的的的上上上界界界，且且且对对对A的的的任任任意意意上上上界界界b，有有有a ? b，即即即a是是是A的的的最最最小小小上上上界界界对对对偶偶偶地地地可可可给给给出出出最最最小小小元元元、极极极小小小元元元、下下下界界界以以以及及及下下下确确确界界界（记记记为为为inf A）的的的定定定义义义，请请请读读读者者者自自自己己己写写写出出出这这这些些些定定定义义义思思思考考考：上上上述述述概概概念念念在在在逆逆逆序序序集集集中中中是是是怎怎怎样样样的的的？最最最大大大（小小小）元元元、极极极大大大（小小小）元元元唯唯唯一一一吗吗吗？集合与映射关系选择

14、公理基数与序数关系之最元与极元举例对对对任任任一一一集集集X，偏偏偏序序序集集集(PX,)有有有最最最大大大元元元X，最最最小小小元元元对对对PX的的的每每每个个个子子子族族族A，A的的的上上上确确确界界界supA =SA，下下下确确确界界界inf A =TA若若若X至至至少少少含含含有有有两两两个个个元元元，则则则PX的的的子子子族族族B = PXX,无无无最最最大大大元元元，也也也无无无最最最小小小元元元；对对对每每每个个个x X，x是是是B的的的极极极小小小元元元，Xx是是是B的的的极极极大大大元元元自自自然然然数数数集集集N关关关于于于整整整除除除偏偏偏序序序构构构成成成偏偏偏序序序集集集(N,|)设设设A N的的的任任任意意意非非非空空空有有有限限限子子子集集集，则则则A在在在偏偏偏序序序集集集(N,|)中中中的的的上上上确确确界界界supA是是是A的的的最最最小小小公公公倍倍倍数数数，下下下确确确界界界inf A是是是A的的的最最最大大大公公公约约约数数数若若若A是是是N的的的无无无限限限子子子集集集，则则则A无无无上上上确确确界界界集合与映射关系选择公理基数与序数关系之定

15、向集Definition设设设?是是是X上上上的的的一一一个个个偏偏偏序序序关关关系系系如如如果果果对对对任任任意意意的的的a,b X，存存存在在在c X使使使得得得a ? c和和和b ? c同同同时时时成成成立立立，则则则称称称X为为为一一一个个个定定定向向向集集集如如如果果果一一一个个个偏偏偏序序序子子子集集集作作作为为为偏偏偏序序序集集集是是是定定定向向向集集集，则则则称称称该该该偏偏偏序序序子子子集集集为为为定定定向向向子子子集集集注注注意意意，有有有些些些教教教科科科书书书中中中关关关于于于定定定向向向集集集的的的定定定义义义不不不要要要求求求反反反对对对称称称性性性对对对任任任意意意非非非空空空集集集合合合X，(PX,)是是是一一一个个个定定定向向向集集集自自自然然然数数数集集集、整整整数数数集集集、实实实数数数集集集关关关于于于通通通常常常的的的大大大小小小关关关系系系都都都是是是定定定向向向集集集集合与映射关系选择公理基数与序数关系之乘积的定向Theorem若若若(X1,?1)与与与(X2,?2)是是是定定定向向向集集集，则则则(X1 X2,?1 ?2)也也也是是是定定

16、定向向向集集集Proof.事事事实实实上上上，对对对每每每个个个x = (x1,x2)与与与y = (y1,y2) X1 X2，因因因X1,X2是是是定定定向向向的的的，存存存在在在c1 X1，c2 X2使使使x1,y1?1c1，x2,y2?2c2按按按照照照积积积偏偏偏序序序的的的定定定义义义可可可知知知，存存存在在在c = (c1,c2) X1 X2，使使使得得得x ? c,y ? c，这这这里里里?表表表示示示积积积偏偏偏序序序集合与映射关系选择公理基数与序数关系之定向与确界Theorem偏偏偏序序序集集集(X,?)的的的每每每个个个子子子集集集有有有上上上确确确界界界 X的的的每每每个个个有有有限限限子子子集集集和和和定定定向向向子子子集集集有有有上上上确确确界界界Proof.必必必要要要性性性显显显然然然，下下下证证证充充充分分分性性性设设设X的的的每每每个个个有有有限限限子子子集集集和和和定定定向向向子子子集集集有有有上上上确确确界界界，则则则空空空集集集作作作为为为X的的的有有有限限限子子子集集集有有有上上上确确确界界界对对对X的的的任任任意意意非非非空空空子子子集集集A

17、，令令令A= supF|F是是是A的的的有有有限限限子子子集集集因因因为为为对对对A的的的任任任意意意两两两个个个有有有限限限子子子集集集F1和和和F2，有有有supF1? sup(F1 F2)和和和supF2? sup(F1 F2)，所所所以以以A是是是X的的的定定定向向向子子子集集集，从从从而而而有有有上上上确确确界界界supA下下下证证证A有有有上上上确确确界界界对对对任任任意意意a A，有有有supa = a，所所所以以以A A，从从从而而而supA就就就是是是A的的的上上上界界界另另另一一一方方方面面面，因因因为为为A的的的任任任意意意上上上界界界b大大大于于于等等等于于于A的的的每每每个个个元元元，所所所以以以b ? supA综综综上上上所所所证证证，supA是是是A的的的最最最小小小上上上界界界，即即即supA = supA集合与映射关系选择公理基数与序数关系之序同构Definition设设设(Xi,?i)，i = 1,2是是是两两两个个个偏偏偏序序序集集集，f : X1 X2f 称称称为为为保保保序序序映映映射射射，若若若对对对任任任意意意的的的x,y X1，x ?1y

18、 f (x) ?2f (y)如如如果果果f 是是是双双双射射射，并并并且且且f 和和和f1都都都是是是保保保序序序映映映射射射，则则则f 叫叫叫序序序同同同构构构，记记记为为为X1= X2对对对偶偶偶地地地可可可给给给出出出f 保保保有有有限限限下下下确确确界界界、定定定向向向下下下确确确界界界以以以及及及任任任意意意下下下确确确界界界的的的定定定义义义在在在序序序论论论里里里，序序序同同同构构构的的的偏偏偏序序序集集集可可可认认认为为为没没没有有有区区区别别别集合与映射关系选择公理基数与序数选择公理之有限笛卡儿积Definition有有有限限限个个个集集集合合合X1, ,Xn的的的笛笛笛卡卡卡儿儿儿积积积定定定义义义为为为X1 Xn=nYi=1Xi= (x1, ,xn)|xi Xi,i = 1, ,n.Definitionsx = (x1, ,xn)称称称为为为一一一个个个n元元元（有有有序序序）组组组，xi叫叫叫x的的的第第第i个个个坐坐坐标标标两两两个个个n元元元组组组相相相等等等当当当且且且仅仅仅当当当这这这两两两个个个n元元元组组组对对对应应应的的的坐坐坐标标标全全全相相相等

19、等等当当当X1= = Xn= X时时时，X1 Xn简简简记记记为为为Xn如如如Rn就就就是是是n个个个实实实数数数集集集的的的笛笛笛卡卡卡儿儿儿积积积集合与映射关系选择公理基数与序数选择公理之笛卡尔集的映射观点如如如果果果将将将每每每个个个n元元元有有有序序序组组组x = (x1, ,xn)表表表示示示成成成一一一个个个映映映射射射x : 1, ,n ni=1Xi, x(i) = xi Xi,则则则nQi=1Xi就就就是是是所所所有有有上上上述述述映映映射射射的的的集集集合合合用用用上上上述述述观观观点点点我我我们们们可可可以以以定定定义义义任任任意意意笛笛笛卡卡卡儿儿儿积积积集合与映射关系选择公理基数与序数选择公理之任意笛卡儿积Definition设设设是是是任任任意意意一一一个个个集集集合合合，X| 是是是一一一个个个集集集族族族集集集合合合YX=(x : X? ,x() X)称称称为为为集集集族族族X| 的的的笛笛笛卡卡卡儿儿儿积积积，每每每个个个X叫叫叫它它它的的的第第第个个个坐坐坐标标标集集集对对对任任任意意意的的的x QX，我我我们们们将将将x()简简简记记记为为为x，叫叫

20、叫做做做x的的的第第第个个个坐坐坐标标标称称称映映映射射射x = (x) 7 x0为为为第第第0个个个投投投射射射，记记记为为为0如如如果果果每每每个个个X= X，则则则QX是是是从从从到到到X的的的所所所有有有映映映射射射的的的集集集合合合，简简简记记记为为为X对对对于于于有有有限限限个个个集集集Xj: j = 1, ,n，其其其笛笛笛卡卡卡儿儿儿积积积有有有了了了两两两种种种定定定义义义这这这两两两种种种定定定义义义是是是等等等价价价的的的集合与映射关系选择公理基数与序数选择公理之选择公理的含义对对对任任任意意意集集集族族族X: ，如如如果果果 6= ，且且且存存存在在在0 使使使X0= ，则则则QX= ，这这这是是是因因因为为为若若若QX6= ，则则则可可可选选选取取取x QX，使使使得得得x X特特特别别别地地地，x0 X0，这这这与与与X0= 矛矛矛盾盾盾反反反之之之，由由由非非非空空空集集集合合合组组组成成成的的的集集集族族族X: 是是是否否否有有有QX6= 成成成立立立？这这这一一一点点点，我我我们们们不不不能能能用用用已已已有有有的的的结结结论论论加加加以以以证证证明明

21、明，需需需要要要用用用公公公理理理来来来保保保证证证这这这就就就是是是著著著名名名的的的选选选择择择公公公理理理选择公理：设 6= ，且 有X6= ，那么QX6= 集合与映射关系选择公理基数与序数选择公理之选择函数选选选择择择公公公理理理告告告诉诉诉我我我们们们，如如如果果果A是是是由由由非非非空空空集集集合合合组组组成成成的的的集集集族族族，那那那么么么我我我们们们可可可以以以从从从A的的的每每每个个个成成成员员员中中中选选选择择择一一一个个个元元元素素素，即即即对对对每每每个个个A A，存存存在在在a A如如如果果果记记记a = c(A)，则则则c : A SA，并并并满满满足足足c(A) A我我我们们们把把把c叫叫叫A的的的选选选择择择函函函数数数选选选择择择公公公理理理是是是说说说任任任意意意由由由非非非空空空集集集构构构成成成的的的集集集族族族都都都有有有选选选择择择函函函数数数拓拓拓扑扑扑学学学中中中许许许多多多重重重要要要结结结果果果的的的证证证明明明依依依赖赖赖于于于选选选择择择公公公理理理根根根据据据选选选择择择公公公理理理可可可以以以证证证明明明：对对对非非非空空空

22、集集集组组组成成成的的的任任任意意意集集集族族族X: ，每每每个个个投投投射射射0:QX X0是是是满满满射射射集合与映射关系选择公理基数与序数选择公理之Zorn引理选选选择择择公公公理理理有有有多多多种种种等等等价价价形形形式式式，其其其序序序形形形式式式就就就是是是Zorn引引引理理理Theorem（Zorn引引引理理理）如如如果果果非非非空空空偏偏偏序序序集集集X的的的每每每个个个全全全序序序子子子集集集有有有上上上界界界，那那那么么么X有有有极极极大大大元元元集合与映射关系选择公理基数与序数良序集、超限归纳原理之良序集Definition偏偏偏序序序集集集(X,?)称称称为为为良良良序序序集集集，如如如果果果它它它的的的每每每个个个非非非空空空子子子集集集有有有最最最小小小元元元关关关于于于实实实数数数的的的大大大小小小序序序，正正正整整整数数数集集集N是是是良良良序序序集集集；实实实数数数集集集R不不不是是是良良良序序序集集集，良良良序序序集集集的的的非非非空空空子子子集集集是是是良良良序序序集集集；每每每个个个良良良序序序集集集是是是全全全序序序集集集Definition设

23、设设(X,?)为为为良良良序序序集集集，a X，集集集合合合Xa= x X|x a叫叫叫由由由a决决决定定定的的的X的的的截截截段段段集合与映射关系选择公理基数与序数良序集、超限归纳原理之超限归纳原理类类类似似似于于于普普普通通通的的的数数数学学学归归归纳纳纳法法法，我我我们们们有有有下下下述述述超超超限限限归归归纳纳纳原原原理理理，它它它对对对于于于许许许多多多高高高基基基数数数问问问题题题是是是非非非常常常有有有用用用的的的Theorem（超超超限限限归归归纳纳纳原原原理理理）设设设(X,?)为为为良良良序序序集集集，A X如如如果果果X的的的最最最小小小元元元a A，并并并且且且b X，Xb A b A，那那那么么么A = XExample例例例如如如，设设设X = N，A是是是使使使得得得命命命题题题P(n)成成成立立立的的的那那那些些些自自自然然然数数数n所所所构构构成成成的的的集集集合合合如如如果果果P(1)成成成立立立（即即即1 A），并并并且且且由由由n b时时时P(n)成成成立立立可可可推推推出出出P(b)成成成立立立（即即即b X，Xb A b A），则则则P(n)

24、对对对所所所有有有的的的自自自然然然数数数都都都成成成立立立（即即即A = N）这这这就就就是是是普普普通通通的的的数数数学学学归归归纳纳纳法法法集合与映射关系选择公理基数与序数良序集、超限归纳原理之良序定理Theorem（良良良序序序定定定理理理）每每每一一一个个个集集集合合合都都都有有有良良良序序序这这这个个个定定定理理理与与与选选选择择择公公公理理理是是是等等等价价价的的的，其其其证证证明明明比比比较较较麻麻麻烦烦烦，从从从略略略集合与映射关系选择公理基数与序数基数与序数之可数集Definition设设设X是是是一一一个个个集集集合合合如如如果果果存存存在在在n N以以以及及及一一一一一一映映映射射射f : X 1,2, ,n，则则则称称称X为为为n元元元集集集，空空空集集集以以以及及及任任任意意意的的的n元元元集集集叫叫叫有有有限限限集集集若若若X不不不是是是有有有限限限集集集，则则则称称称X为为为无无无限限限集集集Definitions如如如果果果X = ，或或或者者者存存存在在在单单单射射射f : X N，则则则称称称X为为为可可可数数数集集集，否否否则则则叫叫叫不不不可可

25、可数数数集集集可可可数数数集集集的的的子子子集集集是是是可可可数数数集集集；有有有限限限集集集是是是可可可数数数集集集；自自自然然然数数数集集集是是是可可可数数数集集集集合与映射关系选择公理基数与序数基数与序数之可数集的例子Theorem任任任一一一无无无限限限集集集X必必必存存存在在在可可可数数数无无无限限限子子子集集集；有有有限限限多多多个个个可可可数数数集集集的的的笛笛笛卡卡卡儿儿儿积积积是是是可可可数数数集集集；可可可数数数集集集的的的可可可数数数族族族之之之并并并是是是可可可数数数集集集；整整整数数数集集集Z与与与有有有理理理数数数集集集Q都都都是是是可可可数数数集集集；可可可数数数集集集的的的全全全体体体有有有限限限子子子集集集构构构成成成的的的集集集族族族是是是可可可数数数的的的实实实数数数集集集R以以以及及及其其其任任任一一一区区区间间间都都都是是是不不不可可可数数数的的的；0,1N也也也是是是不不不可可可数数数的的的集合与映射关系选择公理基数与序数基数与序数之基数把把把所所所有有有集集集合合合的的的汇汇汇集集集看看看成成成集集集合合合会会会产产产生生生矛矛矛盾盾盾，因

26、因因此此此我我我们们们将将将所所所有有有集集集合合合的的的汇汇汇集集集不不不叫叫叫集集集合合合，而而而叫叫叫集集集合合合类类类，记记记为为为U设设设A,B U是是是两两两非非非空空空集集集合合合，如如如果果果它它它们们们之之之间间间存存存在在在一一一一一一对对对应应应，我我我们们们就就就称称称A与与与B等等等价价价，记记记为为为A B规规规定定定A 当当当且且且仅仅仅当当当A = 不不不难难难验验验证证证，是是是U上上上的的的等等等价价价关关关系系系关关关于于于这这这个个个等等等价价价关关关系系系，A U的的的等等等价价价类类类叫叫叫A的的的基基基数数数，用用用CardA或或或|A|来来来表表表示示示当当当A是是是非非非空空空有有有限限限集集集时时时，与与与A等等等价价价的的的所所所有有有集集集合合合有有有一一一个个个共共共同同同的的的特特特征征征，那那那就就就是是是它它它们们们的的的元元元素素素的的的个个个数数数相相相等等等，因因因此此此我我我们们们就就就用用用A所所所含含含元元元素素素的的的个个个数数数来来来代代代表表表A所所所在在在的的的等等等价价价类类类，即即即CardA =

27、n，其其其中中中n是是是A所所所含含含元元元素素素的的的个个个数数数因因因此此此，集集集合合合的的的基基基数数数可可可以以以看看看成成成是是是集集集合合合所所所含含含元元元素素素个个个数数数的的的推推推广广广我我我们们们规规规定定定Card = 0，并并并记记记CardN = 0，CardR = c集合与映射关系选择公理基数与序数基数与序数之Bernstein定理Definition我我我们们们定定定义义义：CardA CardB A = 或或或存存存在在在单单单射射射f : A BTheorem（Bernstein定定定理理理）对对对任任任意意意两两两个个个集集集合合合A,B，如如如果果果CardA CardB，且且且CardB CardA，则则则有有有CardA = CardB我我我们们们不不不难难难证证证明明明关关关系系系“”是是是任任任何何何基基基数数数集集集合合合（即即即由由由某某某些些些基基基数数数构构构成成成的的的集集集合合合）上上上的的的一一一个个个偏偏偏序序序集合与映射关系选择公理基数与序数基数与序数之连续统假设Theorem（1）对对对任任任意意意的的的n N有有有

28、0 n 0 c；（2）设设设CardA = a，CardPA = 2a，则则则有有有a 2a（3）20= c现现现在在在自自自然然然要要要问问问，当当当a 0时时时，在在在a与与与2a之之之间间间是是是否否否还还还存存存在在在另另另一一一个个个基基基数数数呢呢呢?在在在历历历史史史上上上有有有两两两种种种假假假设设设，一一一种种种说说说不不不存存存在在在，一一一种种种说说说存存存在在在说说说不不不存存存在在在的的的叫叫叫连连连续续续统统统假假假设设设，现现现在在在大大大多多多采采采用用用这这这一一一假假假设设设已已已经经经有有有人人人证证证明明明这这这两两两种种种假假假设设设都都都不不不会会会与与与集集集合合合论论论原原原有有有的的的公公公理理理系系系统统统发发发生生生矛矛矛盾盾盾集合与映射关系选择公理基数与序数基数与序数之序数Definition设设设(X,?X)，(Y,?Y)为为为非非非空空空偏偏偏序序序集集集，如如如果果果存存存在在在一一一一一一映映映射射射f : X Y使使使x1,x2 X,f (x1) ?Yf (x2) x1?Xx2,则则则说说说X与与与Y相相相似似似规规规定

29、定定X与与与相相相似似似当当当且且且仅仅仅当当当X = 如如如果果果X与与与Y相相相似似似，就就就说说说X与与与Y有有有相相相同同同的的的序序序型型型良良良序序序集集集的的的序序序型型型叫叫叫序序序数数数X的的的序序序数数数记记记为为为OrdX，并并并记记记Ord = 0,Ord1,2, ,n = n(n N),OrdN = ,这这这里里里N取取取通通通常常常的的的偏偏偏序序序集合与映射关系选择公理基数与序数基数与序数之良序集Theorem良良良序序序集集集与与与其其其任任任意意意截截截段段段都都都不不不相相相似似似；良良良序序序集集集的的的不不不同同同截截截段段段之之之间间间彼彼彼此此此不不不相相相似似似利利利用用用这这这个个个定定定理理理，可可可以以以在在在任任任何何何序序序数数数集集集上上上定定定义义义偏偏偏序序序如如如下下下：Definition设设设,为为为序序序数数数，A,B是是是分分分别别别具具具有有有序序序型型型,的的的良良良序序序集集集如如如果果果A相相相似似似于于于B的的的一一一个个个截截截断断断，则则则说说说 显显显然然然在在在序序序数数数集集集中中中，这这这样样

30、样定定定义义义的的的关关关系系系是是是传传传递递递的的的和和和反反反自自自反反反的的的从从从而而而由由由此此此可可可导导导出出出一一一个个个偏偏偏序序序利利利用用用超超超限限限归归归纳纳纳原原原理理理可可可以以以证证证明明明在在在“”之之之下下下，任任任何何何序序序数数数集集集都都都是是是良良良序序序集集集集合与映射关系选择公理基数与序数基数与序数之最小序数现现现设设设为为为序序序数数数，记记记0,)为为为一一一切切切小小小于于于的的的序序序数数数构构构成成成的的的集集集合合合，则则则我我我们们们有有有Theorem = Ord0,)我我我们们们设设设是是是通通通常常常偏偏偏序序序下下下N的的的序序序型型型，现现现在在在它它它也也也是是是0,)的的的序序序型型型，所所所以以以Card0,) = 0,而而而0,)的的的每每每个个个截截截断断断相相相似似似于于于N的的的一一一个个个截截截断断断，所所所以以以是是是有有有限限限的的的，即即即对对对任任任意意意的的的 ，有有有Card0,) 0因因因此此此我我我们们们称称称为为为第第第一一一（最最最小小小）无无无限限限序序序数数数类类类似似似地

31、地地，还还还有有有一一一个个个很很很重重重要要要的的的序序序数数数，叫叫叫第第第一一一（最最最小小小）不不不可可可数数数序序序数数数，记记记作作作。Card0,) = c，并并并且且且0,)的的的每每每个个个截截截断断断都都都是是是可可可数数数的的的集合与映射关系选择公理基数与序数基数与序数之可数序数子集对对对于于于，下下下述述述定定定理理理是是是有有有用用用的的的Theorem设设设A为为为0,)的的的可可可数数数子子子集集集，则则则存存存在在在 0,)，使使使得得得对对对任任任意意意的的的 A，都都都有有有 （即即即是是是A的的的上上上界界界）集合与映射关系选择公理基数与序数练习题设设设(X,?)是是是偏偏偏序序序集集集，A X，证证证明明明?A= (A A) ?是是是A上上上的的的一一一个个个偏偏偏序序序设设设?是是是X上上上的的的一一一个个个偏偏偏序序序，证证证明明明?1= (x,y)|(y,x) ?也也也是是是一一一个个个偏偏偏序序序设设设(Xi,?i)，i = 1,2是是是两两两个个个非非非空空空偏偏偏序序序集集集，?是是是X = X1 X2上上上的的的关关关系系系，定定定义义义如如如下下下:(x1,x2) ? (y1,y2) x1?1y1,x2?2y2,证证证明明明?是是是X上上上的的的一一一个个个偏偏偏序序序关关关系系系举举举例例例说说说明明明保保保序序序的的的双双双射射射不不不必必必是是是序序序同同同构构构集合与映射关系选择公理基数与序数对对对任任任意意意的的的映映映射射射f : X Y可可可诱诱诱导导导一一一个个个映映映射射射f: PX PY，A 7 f(A) = f (x)|x A证证证明明明集集集合合合包包包含含含偏偏偏序序序f保保保序序序，保保保上上上确确确界界界，f1: PY PX保保保上上上、下下下确确确界界界偏偏偏序序序集集集(X,?)的的的每每每个个个子子子集集集有有有上上上确确确界界界 X的的的每每每个个个有有有限限限子子子集集集和和和定定定向向向子子子集集集有有有上上上确确确界界界证证证明明明Bernstein定定定理理理：如如如果果果存存存在在在从从从集集集A到到到集集集B的的的单单单射射射和和和从从从集集集B到到到集集集A的的的单单单射射射,则则则存存存在在在从从从A到到到B的的的一一一一一一映映映射射射

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