信号与线性系统题解 阎鸿森 第九章
35页1、信号与线性系统题解 阎鸿森 第九章 习题答案9.1 如图 P9.1 所示,两个理想模拟滤波器级联和并联,其中 是低通,截止频率为)(1H; 是高通,截止频率为 :1c)(2H2c(a)当 时,试证明,图 P9.1(a)相当于一个理想带通滤波器,并确定其通带宽c度。(b)当 时,1c2otherwisHcc0)(12故级联后的滤波器为理想带通滤波器,其通带宽度为: 。21cB)(1H)(1)(1H)(2 (b)当 时,1c2,otherwisHcc0)(21故级联后的滤波器为带阻滤波器,阻带宽度为: 12cB(c)数字滤波器结果与上类似。9.2 图 P9.2 中的系统常用来从低通滤波器获得高通滤波器,反之亦然。(a) 证明当 是截止频率为 的理想低通滤波器时,整个系统相当于一个理想高)(Hp通滤波器。确定其截止频率,并粗略绘出其单位冲激响应。(b)如果 是一个截止频率为 的理想高通滤波器,证明整个系统相当于一个理)(p想低通滤波器。并确定其截止频率。(c)如果把一个离散时间理想低通(或高通)滤波器按图 P9.2 联接,所组成的系统是理想的离散时间高通(或低通)滤波器吗?图 P9.2解:(
2、a) 是低通滤波器,截止频率为Q)(Hpotherwisp01整个系统的频率响应为:terisHp)(1)(故整个系统为高通滤波器。其单位冲激响应为: tthpp)in()(其波形如图所示。)(H)(tx )(ty(b) 是高通滤波器,截止频率为Q)(Hpotherwis01整个系统的频率响应为:terisHp)(1)(故整个系统相当于一个理想低通滤波器,其截止频率为 。p(c)是。9.3 某模拟低通滤波器的幅频特性如图 P9.3 所示。试对下列每种相位特性,求出该滤波器的单位冲激响应并概略绘出其波形。(a) =0)(H(b) =T,其中 T 为常数(c) = )(0,2/解:(a)若 =0,则有:)(Htthcasin波形如图所示:(b)若 =T,则有:)(HTjae)(sin)()tthtcab 图 9.3(c)如 = ,则)(H0,2/)()(acj可视为如下的卷积:c)2()2(*)2()( ccacjH/sin)(tthcc9.4 若某离散时间理想低通滤波器的单位脉冲响应为 ,频率响应如图 P9.4 所示。另)(nh一个新的滤波器的单位脉冲响应为 ,且)(1为 奇 数 为 偶
3、 数nh,0)2/()1试确定并粗略画出新滤波器的频率特性 。指出它属于哪一种滤波器(低通,)(1jeH高通,带通,带阻) 。解: ,其频谱如下所示,它是一个nnjnjjj eHheheH)()()( 2211 带阻滤波器。)(j2cc 1 )(j2cc 1 29.5 在许多滤波问题中,人们总希望相位特性是零或者是线性的。对因果滤波器,实现零相位是不可能的。然而,在非实时要求的情况下,零相位过滤是可能的。如果要处理的序列 是有限长的, 是一个具有任意相位特性的因果滤波器的单位脉冲响)(nx)(nh应,且 是一个具有任意相位特性的因果滤波器的单位脉冲响应,且 为实序h )(nh列,则可以通过以下两种方法实现对 的零相位过滤。)(x(a)按以下三步进行,如图 P9.5(a)所示。(b)按以下三步进行,如图 P9.5(b)所示。分别对以上两种方法求出从输入 到输出 的整个系统的系统函数,单位脉冲)(nx)(y响应,并证明该系统具有零相位特性。(1) )(g (1) )(ng )(nx )(x(2) (2) )(g)(nr)(nx)(r(3) (3) )(rny )()(ngy(a) (b)图
4、 P9.5解:(a)由图 P9.5(a)可知:)()(HXG又 的傅立叶变换为Qng)(G的傅立叶变换为)(r )()()HXHR()()XY又 )(nh为实序列,则:2*)()(HH故系统函数为:21)()()(h)(h)(H)()(twstx)(tsy单位冲激响应为: ,它具有零相位特性。)(*)(1nhnh(b)由图 P9.5(b)可知:)()(HXGR)()()()( HXY又 nh为实序列,则 :Q*)(Re2)()()( *2 H这表明复合滤波器具有零相位特性。 故系统函数为:21)()(单位冲激响应为: 。)(2nhnh9.6 频率选择性滤波器往往被用来分离两个加性信号。如果两个加性信号的频谱不重叠,则用滤波器就可达到目的。然而,当频谱有重叠时,把滤波器设计成从通带到阻带逐渐过渡的形状往往更为可取。本题旨在研究确定滤波器频率响应的一种方法,这种滤波器可以用来近似地分离频谱重叠的信号。设 是一个复合信号,)(tx。我们希望设计一个 LTI 滤波器,从 中分离出 ,如图)()(twstx t)(tsP9.6(a)所示。也就是说,滤波器的频率响应 应使 )(y是对 较好的近似。
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