椭圆标准方程+焦点三角形面积公式(高三复习)

1、1椭圆焦点三角形面积公式的应用性质 1(选填题课直接用，大题需论证): 在椭圆 （ 0）中，焦点分别为 、 ，点 P 是椭圆上任意一12byaxab1F2点， ，则 .21PF2tn21SPF证明：记 ，由椭圆的第一定义得1|,| rr.4)(,2221 aar在 中，由余弦定理得：PF .)2(cos2121rr配方得： .4cos)(2121r即 .4cos42a.1)(2221br由任意三角形的面积公式得：.2tan2cosincos1insi22211 bbbrSPF.ta21PF同理可证，在椭圆 （ 0）中，公式仍然成立.12bxyab典型例题例 1 若 P 是椭圆 上的一点， 、 是其焦点，且 ，求16402yx1F2 6021PF 的面积.21F例 2 已知 P 是椭圆 上的点， 、 分别是椭圆的左、右焦点，若1925yx12，则 的面积为（ ）1|21PF21FPy F1 O F2 xP2A. B. C. D. 33233例 3（04 湖北）已知椭圆 的左、右焦点分别是 、 ，点 P 在椭圆上. 若 P、196yx1F2、 是一个直角三角形的三个顶点，则点 P 到 轴的

2、距离为（ ）1F2 xA. B. C. D. 或59749497答案：例 1 若 P 是椭圆 上的一点， 、 是其焦点，且 ，求16402yx1F2 6021PF 的面积.21F解法一：在椭圆 中， 而 记16402yx,68,0cba.0.|,| 21rr点 P 在椭圆上，Q由椭圆的第一定义得：.221r在 中，由余弦定理得：21F .)2(cos1r配方，得： .43)(21rr从而.43402156.342sin2121 rSPF解法二：在椭圆 中， ，而16402yx6b.0.3tan2t21 bSPF解法一复杂繁冗，运算量大，解法二简捷明了，两个解法的优劣立现！3例 2 已知 P 是椭圆 上的点， 、 分别是椭圆的左、右焦点，若1925yx1F2，则 的面积为（ ）1|21PF21FA. B. C. D. 3333解：设 ，则 ，21PF21|cos1PF.60.30tan9t21 bSF故选答案 A.例 3（04 湖北）已知椭圆 的左、右焦点分别是 、 ，点 P 在椭圆上. 若 P、1962yx1F2、 是一个直角三角形的三个顶点，则点 P 到 轴的距离为（ ）1F2 xA

3、. B. C. D. 或59749497解：若 或 是直角顶点，则点 P 到 轴的距离为半通径的长 ；若 P 是直角顶点，1F2 x2ab设点 P 到 轴的距离为 h，则 ，又x 945tan2t21 bSF ,7)(121 hcSF， 故答案选 D.97h.7金指点睛1(略). 椭圆 上一点 P 与椭圆两个焦点 、 的连线互相垂直，则 的面积为1249xy 1F2 21PF（ ）A. 20 B. 22 C. 28 D. 242. 椭圆 的左右焦点为 、 ， P 是椭圆上一点，当 的面积为 1 时，142yx12 21的值为（ ）21PFA. 0 B. 1 C. 3 D. 643. 椭圆 的左右焦点为 、 ， P 是椭圆上一点，当 的面积最大时，142yx1F2 21PF的值为（ ）21PFA. 0 B. 2 C. 4 D. 4已知椭圆 （ 1）的两个焦点为 、 ，P 为椭圆上一点，且 ，2yaxa1F2 6021PF则 的值为（ ）|21PFA1 B C D313435. 已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴， 、 为焦点，点 P 在椭圆上，直线 与 倾1F2 1PF2斜角的差为 ，

4、 的面积是 20，离心率为 ，求椭圆的标准方程.9021PF356已知椭圆的中心在原点， 、 为左右焦点，P 为椭圆上一点，且 ，12 21|12PF的面积是 ，准线方程为 ，求椭圆的标准方程 .21PF334x答案1. 解： ， .24,9021b245tan2t21 bSPF故答案选 D.2. 解：设 ， ， ，21PFQ1tt21PF90,.021PF故答案选 A.3. 解： ，设 ， ，3,1cba21 2tant21 bSPF当 的面积最大时， 为最大，这时点 P 为椭圆短轴的端点， ，21 10.0coss| 221 aPFPF故答案选 D.4 解： ， ， ，60211b30tan2t21 bSPF5又 ，Q|43sin|212121 PFPFSPF ，从而 .3|4321 |21故答案选 C.5. 解：设 ，则 . ，21PF90Q2045tant221 bbSPF又 ，Q35abce，即 .9512b9201解得： .4a所求椭圆的标准方程为 或 .12045yx12045x6解：设 ， .21PF,|cos21PF， .360tant 221 bbSPF b又 ，即

5、 .Q34ca 342 cc或 .当 时， ，这时椭圆的标准方程为 ；3c22cba 142yx当 时， ，这时椭圆的标准方程为 ；32 32但是，此时点 P 为椭圆短轴的端点时， 为最大， ，不合题意.60故所求的椭圆的标准方程为 .142yx6性质二：有关角的问题已知椭圆方程为 左右两焦点分别为 设焦点三角形 ，),0(12bayx ,21F21FP若 最大，则点 P 为椭圆短轴的端点。21F问题 1. 椭圆 的焦点为 Fl、F 2，点 P 为其上一点，当 为直角时，点 P 的1492yx 21横坐标是_。问题 2：椭圆 的焦点为 Fl、F 2，点 P 为其上动点，当 为钝角时，点 P1492yx 21F横坐标的取值范围是_。变式1.已知 、 是椭圆的两个焦点，满足 的点 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取1F2 120MFur值范围是（ ） （09 江西）A B C D(0,)1(0,(,),1)问题 1. 椭圆 的焦点为 Fl、F 2，点 P 为其上一点，当 为直角时，点 P 的1492yx 21PF横坐标是_。方法 1：设 ，则当 时，点 的轨迹方程为 ，由此可得 的横坐标为方法 2：利用性质一 2tan21bSPF方法 3：【分析】令|F 1P|=m、|PF 2|=6-m， 7RtF1PF2 中，由勾股定理可得 m2+(6-m)2=20问题 2：椭圆 的焦点为 Fl、F 2，点 P 为其上动点，当 为钝角时，点 P1492yx 21PF横坐标的取值范围是_。问题分解：方法 1：设 ，则当 时，点 的轨迹方程为 ，由此可得 的横坐标为 ，所以点 P 横坐标的取值范围是方法 2：利用性质一 2tan21bSPF问题 2. 而此题为钝角，究竟钝角和直角有何联系？解题的关键在于点动，发现 的大小与点 P 的位置有关，21究竟有何联系，成了大家探索的焦点。变式1.已知 、 是椭圆的两个焦点，满足 的点 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取1F2 120MFur值范围是（ C ） （09 江西）A B C D(0,)1(0,(,),1)

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