高考数学一轮复习 最基础考点系列 考点5.3 平面向量共线定理

1、1专题 3 平面向量共线定理平面向量共线定理平面向量共线定理向量 b 与 a(a0)共线的充要条件是有且只有一个实数 ，使得 b a .平面向量共线定理的三个应用(1)证明向量共线：对于非零向量 a， b，若存在实数 ，使 a b ，则 a 与 b 共线(2)证明三点共线：若存在实数 ，使urAB rC，u与rA有公共点 A，则 A， B， C 三点共线(3)求参数的值：利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值提醒证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点例设两个非零向量 a 和 b 不共线(1)若urAB a b，urC2 a8 b，urD3( a b)求证： A， B， D 三点共线(2)试确定实数 k，使 ka b 和 a kb 共线解(1)证明：因为r a b，rB 2a 8b，urC3( a b)，所以rD 2a 8b3( a b)5( a b)5 ，所以ur， 共线又uAB与 有公共点 B，所以 A， B， D 三点共线2(2)因为 ka b 与 a kb 共线，所以存在实数 ，使 ka b (a kb)，即Error! 解得 k1.即 k1 或1 时， ka

2、 b 与 a kb 共线1.已知 a， b 是不共线的向量，urAB a b，urC a b ， ， R，则 A， B， C 三点共线的充要条件为()A 2 B 1C 1 D 1解析：选 D A， B， C 三点共线，ur ，设urA m (m0)，则 a b m(a b )，Error! 1，故选 D.2.已知 a， b 是两个不共线的非零向量，且 a 与 b 起点相同若 a， tb， (a b)三向量的终点在同一直线13上，则 t_.3.(2015新课标全国卷)设 D 为 ABC 所在平面内一点，urBC3 D，则()AurDrBuAC13 43B 13 43Cur ur43 13D A C43 13解析：选 Aur urD ArBCu (rAuB)13 133urAC Bur AC，故选 A.43 13 13 431设 M 是 ABC 所在平面上的一点，且urMB AurC0， D 是 AC 的中点，则 的值为()32 32 |A. B. C1 D213 122在 ABC 中，urBD3 C，若urA 1rB 2urAC，则 1 2的值为()A. B. C. D.116 316

3、12 109解析：选 B由题意得，r rD r (ur AB)34 34urA C， 1 ， 2 ， 1 2 .14 34 14 34 3163设 D， E， F 分别是 ABC 的三边 BC， CA， AB 上的点，且rC2 D， rE2u，rF2 B，则r r与u()A反向平行 B同向平行C互相垂直 D既不平行也不垂直解析：选 A由题意得urD Bur rC，uErA ur AC，urF BruCrBA，13 13 13因此 E F (B ) B ，故 D E F与13 23 134urBC反向平行4已知点 O 为 ABC 外接圆的圆心，且urOA BrC0，则 ABC 的内角 A 等于()A30 B45 C60 D905已知点 G 是 ABC 的重心，过点 G 作一条直线与 AB， AC 两边分别交于 M， N 两点，且urA x B，urAN y C，则 的值为()xyx yA3 B. C2 D.13 12解析：选 B由已知得 M， G， N 三点共线，所以urAG r(1 )urAN xrB(1 )yur.点 G 是 ABC 的重心，r ( B C) ( )，Error!即Error!得23 12 13 1，即 3，通分得 3， .13x 13y 1x 1y x yxy xyx y 136若点 M 是 ABC 所在平面内的一点，且满足 5urAM 3ur，则 ABM 与 ABC 的面积的比值为()A. B. C. D.15 25 35 45解析：选 C设 AB 的中点为 D，如图，连接 MD， MC，由 5r B3rAC，得 5urM2 AD3urC，即urA ur，即 1，故 C， M， D 三点共线，又 ，联立，25 35 25 35得 5DM3 ，即在 ABM 与 ABC 中，边 AB 上的高的比值为 ，所以 ABM 与 ABC 的面积的比值为 .35 355_

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