数学建模论文:世界人口数量预测
8页1、数学建模论文世界人口数量预测一问题提出:人口问题一直是人们非常关心的问题,它直接影响着未来的生活状,如何建立一个合理的数学模型来预测一定年段的人口数?以下是历年人口统计数:二问题分析:人们已经建立了多种数学模型来预测人口,主要有:1.简单模型:,其中为当前人口数,r为年增长率,n为年份,为统计初年,这里取1804;例如1804年的人口数为10亿,年增长率取0.02时,其图像如下:很明显与实际相差很远;2.Malthus模型,即,r为年增长率,一般取r=0.02,当=1804,No取10亿时,其图形如下:它有一定的合理性,但也有很多缺陷,首先这里假设人口净增长率为常数,但实际情况并不如此;3.Logistic模型,即 解之得:比如将人口最大人数假设为100亿(这里仅仅是假设),同样在1804,2204的年间作图其图形如下:这里需要知道人口的发展极限,但并不容易得到4.Usher模型,即以上各种模型都有各自的缺点和优点,不能很客观、科学、合理地预测人口的变化总趋势。这里仅做一点探索。三建立模型: 1经查找和搜索,得出以下人口数据:年份人口数年份人口数公元元年2.5亿197440亿10003
2、.9亿198750亿16005.0亿199456.3亿17005.4亿199859亿180410亿199960亿192720亿2013(预测)70亿196030亿2028(预测)80亿 2建模假设: (1)假设以上数据真实,能客观反映实际情况(除预测外,预测数据不用于运算); (2)假设人类只会在地球上生存,而不会因科技飞跃而出现新的生存环境; (3)人口数据可以反映实际的变化,比如战争、自然灾害、环境变化等,人类的生存条件也反映在人口数据中,也就是说人口数量只与时间t有关; (4)在现有的科学技术的预测下,人口的最终数据为零,即人类也和其他动物一样会走向灭亡。这里假设公元4亿年人口数变为零(相关科学预测太阳的寿命约还有40亿年,也就是说最多40亿年后人类就灭绝了,但人类并不能生存到那个时候)。 3建模基础:(1)由于任何一个函数都可以用一个多项式展开,而展开的多项式与原函数误差很小,所以用任何方法建立的模型都可以用多项式展开;(2)人口变化只与时间有关,所以模型中只设时间变量;(3)人类总人口的极限是零。(这里取的是近似值) 4建立模型: (1)根据以上的12组数据,用Mathema
3、tica软件描绘其人口与时间的关系图,如下: 图像说明:任何一种生物都有一个产生、发展、鼎盛、衰亡、灭绝的过程,人类是一类特殊的种群,当然也有这样一个过程,最终都会趋于灭绝。因此,所建立的模型必须符合这个事实,即随时间的变化,人口数据会出现很多极值点,当时间趋于无穷时,人口数应趋于零。由于技术限制,没有将人口数变为零的点画出。 (2)由以上的数据可以拟合一个五次多项式,多项式如下:其图象如下:这个图像与实际人口变化趋势很相符。也可以考虑其它的次数的函数逼近。这里由于数据太少的限制,只考虑用五次的多项式 (3)进一步思考:对上面的得到的函数求导数(导数可以表示某一瞬时的人口数量变化率),并使其导数值为零,得到的是函数的极值点,也就是说在这些年里,曾经发生过很多大事,使得人口数有一个剧烈的变化,比如战争,自然灾害,是人口剧减,又如科技的飞越,使人口剧增。其导数如下:由得:还有一个解是,与题意不符,应舍去。通过求二阶导数来判断这些点是极大值还是极小值点,由这些数据可知,在某年发生过人口剧变的现象,可以用来研究历史,也可以用来预测未来,还可以找到人口出现最大值的年份。四模型分析:1 .由于数据不够充分,所得的模型、图像及函数等都不够精确,只使一个粗略的估计,提供的仅仅是一种方法;如果有充分的历史人口数据,以及对地球寿命的精确估计,相信一定能找到一个合理的人口数量函数;2 .与简单模型、Malthus模型、Logistic模型、Usher模型相比,本模型最大的特点就是人口数的极限是零。另外,人口变化率不是常数,也不是线性的,而是随时间的不断变化而变化的,是个多项式。3 .本模型也存在很多缺点,比如数据量过大会对计算带来很多不便,甚至有可能计算不出来,函数拟合时,由于使用的软件不同会导致结果有些差别,这里用到的是最小二乘法,可以作为一种借鉴;4.本模型之所以选择的是世界人口预测,是考虑到可能会发生地区或国家间的大迁移,使得问题更加复杂。五 .组员分工:马 俊:查找资料;刘长平:制作建模报告论文,曾 超:制作幻灯片;三人一起完成数据组织、问题分析、计算、建立数学模型、求解、分析模型等关键步骤。报告人:刘长平组 员:马 俊(20031090090)刘长平(20031090092)曾 超(20031090096)
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