数学建模论文：世界人口数量预测

数学建模论文世界人口数量预测一问题提出：人口问题一直是人们非常关心的问题，它直接影响着未来的生活状，如何建立一个合理的数学模型来预测一定年段的人口数？以下是历年人口统计数：二问题分析：人们已经建立了多种数学模型来预测人口，主要有：1.简单模型：，其中为当前人口数，r为年增长率，n为年份，为统计初年，这里取1804；例如1804年的人口数为10亿，年增长率取0.02时，其图像如下：很明显与实际相差很远；2.Malthus模型，即，r为年增长率，一般取r=0.02,当=1804，No取10亿时，其图形如下：它有一定的合理性，但也有很多缺陷，首先这里假设人口净增长率为常数，但实际情况并不如此；3.Logistic模型，即 解之得：比如将人口最大人数假设为100亿（这里仅仅是假设），同样在1804，2204的年间作图其图形如下：这里需要知道人口的发展极限，但并不容易得到4.Usher模型，即以上各种模型都有各自的缺点和优点，不能很客观、科学、合理地预测人口的变化总趋势。这里仅做一点探索。三建立模型： 1经查找和搜索，得出以下人口数据：年份人口数年份人口数公元元年2.5亿197440亿10003.9亿198750亿16005.0亿199456.3亿17005.4亿199859亿180410亿199960亿192720亿2013（预测）70亿196030亿2028（预测）80亿 2建模假设： （1）假设以上数据真实，能客观反映实际情况（除预测外，预测数据不用于运算）； （2）假设人类只会在地球上生存，而不会因科技飞跃而出现新的生存环境； （3）人口数据可以反映实际的变化，比如战争、自然灾害、环境变化等，人类的生存条件也反映在人口数据中，也就是说人口数量只与时间t有关； （4）在现有的科学技术的预测下，人口的最终数据为零，即人类也和其他动物一样会走向灭亡。这里假设公元4亿年人口数变为零（相关科学预测太阳的寿命约还有40亿年，也就是说最多40亿年后人类就灭绝了，但人类并不能生存到那个时候）。 3建模基础：（1）由于任何一个函数都可以用一个多项式展开，而展开的多项式与原函数误差很小，所以用任何方法建立的模型都可以用多项式展开；（2）人口变化只与时间有关，所以模型中只设时间变量；（3）人类总人口的极限是零。（这里取的是近似值） 4建立模型： （1）根据以上的12组数据，用Mathematica软件描绘其人口与时间的关系图，如下： 图像说明：任何一种生物都有一个产生、发展、鼎盛、衰亡、灭绝的过程，人类是一类特殊的种群，当然也有这样一个过程，最终都会趋于灭绝。因此，所建立的模型必须符合这个事实，即随时间的变化，人口数据会出现很多极值点，当时间趋于无穷时，人口数应趋于零。由于技术限制，没有将人口数变为零的点画出。 （2）由以上的数据可以拟合一个五次多项式，多项式如下：其图象如下：这个图像与实际人口变化趋势很相符。也可以考虑其它的次数的函数逼近。这里由于数据太少的限制，只考虑用五次的多项式 （3）进一步思考：对上面的得到的函数求导数（导数可以表示某一瞬时的人口数量变化率），并使其导数值为零，得到的是函数的极值点，也就是说在这些年里，曾经发生过很多大事，使得人口数有一个剧烈的变化，比如战争，自然灾害，是人口剧减，又如科技的飞越，使人口剧增。其导数如下：由得：还有一个解是，与题意不符，应舍去。通过求二阶导数来判断这些点是极大值还是极小值点，由这些数据可知，在某年发生过人口剧变的现象，可以用来研究历史，也可以用来预测未来，还可以找到人口出现最大值的年份。四模型分析：1 .由于数据不够充分，所得的模型、图像及函数等都不够精确，只使一个粗略的估计，提供的仅仅是一种方法；如果有充分的历史人口数据，以及对地球寿命的精确估计，相信一定能找到一个合理的人口数量函数；2 .与简单模型、Malthus模型、Logistic模型、Usher模型相比，本模型最大的特点就是人口数的极限是零。另外，人口变化率不是常数，也不是线性的，而是随时间的不断变化而变化的，是个多项式。3 .本模型也存在很多缺点，比如数据量过大会对计算带来很多不便，甚至有可能计算不出来，函数拟合时，由于使用的软件不同会导致结果有些差别，这里用到的是最小二乘法，可以作为一种借鉴；4.本模型之所以选择的是世界人口预测，是考虑到可能会发生地区或国家间的大迁移，使得问题更加复杂。五 .组员分工：马 俊：查找资料；刘长平：制作建模报告论文，曾 超：制作幻灯片；三人一起完成数据组织、问题分析、计算、建立数学模型、求解、分析模型等关键步骤。报告人：刘长平组 员：马 俊（20031090090）刘长平（20031090092）曾 超（20031090096）