2019届百师联盟全国高三模拟考(二)全国Ⅱ卷数学(理)试题(解析版)20页
20页1、2019届百师联盟全国高三模拟考(二)全国卷数学(理)试题一、单选题1集合,则集合的真子集的个数是A1个B3个C4个D7个【答案】B【解析】由题意,结合集合,求得集合,得到集合中元素的个数,即可求解,得到答案【详解】由题意,集合, 则,所以集合的真子集的个数为个,故选B【点睛】本题主要考查了集合的运算和集合中真子集的个数个数的求解,其中作出集合的运算,得到集合,再由真子集个数的公式作出计算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力2已知复数,满足,则( )A1BCD5【答案】A【解析】首先根据复数代数形式的除法运算求出,求出的模即可【详解】解:,故选:A【点睛】本题考查了复数求模问题,考查复数的除法运算,属于基础题3设命题函数在上递增,命题在中,下列为真命题的是( )ABCD【答案】C【解析】命题:函数在上单调递减,即可判断出真假命题:在中,利用余弦函数单调性判断出真假【详解】解:命题:函数,所以,当时,即函数在上单调递减,因此是假命题命题:在中,在上单调递减,所以,是真命题则下列命题为真命题的是故选:C【点睛】本题考查了函数的单调性、正弦定理、三角形边角大小关系、简易逻辑的判定方法,考查
2、了推理能力与计算能力,属于基础题4已知等比数列的前项和为,且满足,则的值是( )ABCD【答案】C【解析】利用先求出,然后计算出结果.【详解】根据题意,当时,,故当时,,数列是等比数列,则,故,解得,故选.【点睛】本题主要考查了等比数列前项和的表达形式,只要求出数列中的项即可得到结果,较为基础.5已知,则( )ABCD【答案】D【解析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解【详解】解:,即,故选:D【点睛】本题考查三个数的大小的比较,考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,属于基础题6如图,四边形为平行四边形,为中点,为的三等分点(靠近)若,则的值为( )ABCD【答案】D【解析】使用不同方法用表示出,结合平面向量的基本定理列出方程解出【详解】解:,又解得,所以故选:D【点睛】本题考查了平面向量的基本定理及其意义,属于基础题7若变量,满足,则的最大值为( )A3B2CD10【答案】D【解析】画出约束条件的可行域,利用目标函数的几何意义求解最大值即可【详解】解:画出满足条件的平面区域,如图示:如图点坐标分别为,目标函数的几何意义为,可行域内点与坐标
3、原点的距离的平方,由图可知到原点的距离最大,故.故选:D【点睛】本题考查了简单的线性规划问题,考查数形结合思想,属于中档题8如图在一个的二面角的棱有两个点,线段分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于棱,且,则的长为( )A4BC2D【答案】A【解析】由,两边平方后展开整理,即可求得,则的长可求【详解】解:,故选:【点睛】本题考查了向量的多边形法则、数量积的运算性质、向量垂直与数量积的关系,考查了空间想象能力,考查了推理能力与计算能力,属于中档题9已知函数,则( )A函数在上单调递增B函数在上单调递减C函数图像关于对称D函数图像关于对称【答案】C【解析】依题意可得,即函数图像关于对称,再求出函数的导函数,即可判断函数的单调性;【详解】解:由,所以函数图像关于对称,又,在上不单调.故正确的只有C,故选:C【点睛】本题考查函数的对称性的判定,利用导数判断函数的单调性,属于基础题.10若函数在时取得最小值,则( )ABCD【答案】D【解析】利用辅助角公式化简的解析式,再根据正弦函数的最值,求得在函数取得最小值时的值【详解】解:,其中,故当,即时,函数取最小值,所以,故选:D【点睛】本题主要
4、考查辅助角公式,正弦函数的最值的应用,属于基础题11已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中三视图的长、宽、高分别为,且,则此三棱锥外接球表面积的最小值为( )ABCD【答案】B【解析】根据三视图得到几何体为一三棱锥,并以该三棱锥构造长方体,于是得到三棱锥的外接球即为长方体的外接球,进而得到外接球的半径,求得外接球的面积后可求出最小值【详解】由已知条件及三视图得,此三棱锥的四个顶点位于长方体的四个顶点,即为三棱锥,且长方体的长、宽、高分别为,此三棱锥的外接球即为长方体的外接球,且球半径为,三棱锥外接球表面积为,当且仅当,时,三棱锥外接球的表面积取得最小值为故选B【点睛】(1)解决关于外接球的问题的关键是抓住外接的特点,即球心到多面体的顶点的距离都等于球的半径,同时要作一圆面起衬托作用(2)长方体的外接球的直径即为长方体的体对角线,对于一些比较特殊的三棱锥,在研究其外接球的问题时可考虑通过构造长方体,通过长方体的外球球来研究三棱锥的外接球的问题12已知平行于轴的直线分别交曲线于两点,则的最小值为( )ABCD【答案】A【解析】设直线为,用表示出,求出,令,利用导数求出单调区间和极小值、最小值
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