初二升初三数学衔接班资料(北师版) .

1、第一章节 直角三角形的边角关系第一讲 1.从梯子的倾斜程度谈起本节内容：正切的定义 坡度的定义及表示（难点） 正弦、余弦的定义 三角函数的定义（重点）1、正切的定义在RtABC中，如果锐角A确定，那么A的对边与邻边的比也随之确定，这个比叫做A的正切，记作tanA.即tanA=.注：tanA的值越大，AB越陡.例1 如图，ABC是等腰直角三角形，求tanC.例2 如图,已知在RtABC中,C=90,CDAB,AD=8,BD=4,求tanA的值.2、坡度的定义及表示（难点）我们通常把坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或坡比）。坡度常用字母i表示。斜坡的坡度和坡角的正切值关系是：注意：（1）坡度一般写成1：m的形式（比例的前项为1，后项可以是小数）；（2）若坡角为a，坡度为，坡度越大，则a角越大，坡面越陡。例3 如图,拦水坝的横断面为梯形ABCD,坝顶宽BC为6m,坝高为3.2m,为了提高水坝的拦水能力,需要将水坝加高2m,并且保持坝顶宽度不变,迎水坡CD的坡度不变,但是背水坡的坡度由原来的i1:2变成i1:2.5,（有关数据在图上已注明）.求加高后的坝底HD的长为多少?3、正弦、余

2、弦的定义在Rt中，锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦，记作sinA。即sinA=A的邻边与斜边的比叫做A的余弦，记作cosA。即cosA=.锐角A的正弦、余弦和正切都是A的三角函数.例4在ABC中，C=90，BC=1，AC=2，求sinA、sinB、cosA、cosB的值。通过计算你有什么发现？请加以证明。4、三角函数的定义（重点）直角三角形中，除直角外，共5个元素，3条边和2个角，它们之间存在如下关系：（1）三边之间关系：；（2）锐角之间关系：A+B=90；（3）边角之间关系:sinA=,cosA=,tanA=.（其中A的对边为a,B的对边为b,C的对边为c）除指教外只要知道其中2个元素（至少有1个是边），就可以利用以上关系求另外3个元素。例5 方方和圆圆分别将两根木棒AB=10cm，CD=6cm斜立在墙上，其中BE=6cm，DE=2cm，你能判断谁的木棒更陡吗？说明理由。本节作业：1、C=90，点D在BC上，BD=6，AD=BC，cosADC=，求CD的长。2、P是a的边OA上一点，且P点的坐标为（3,4），求sina、tana的值。3、在ABC中，D是AB的中点，DCAC，且ta

3、nBCD=，求tanA的值。4、在RtABC中,C=90,tanA=，周长为30，求ABC的面积。5、（2008浙江中考）在RtABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=2,AC=3,则sinB的值是多少？第2讲 30,45,60角的三角函数值本节内容：30，45，60角的三角函数值（重点）1、30，45，60角的三角函数值（重点）根据正弦、余弦和正切的定义，可以得到如下几个常用的特殊角的正弦、余弦和正切值。例1 求下列各式的值。（1）；（2）。本节作业：1、 求下列各式的值。（1）； （2）。(3) 6tan2 30sin 602tan45(4)2、 已知a为锐角，且tana=5，求的值。3、 ABC表示光华中学的一块三角形空地，为美化校园环境，准备在空地内种植草皮，已知某种草皮每平方米售价为a元，则购买这种草皮至少花费多少元？4、（2008成都中考）2的值等于_。5、（2008义乌中考）计算。6、（2009深圳）（6分）计算：7、（2010深圳）( )22sin45 ( 3.14)0(1)3第3讲 锐角三角函数计算的实际应用知识点：1.仰角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线

4、所成的锐角称为仰角。俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角成为俯角。2. 方向角：从南北方向线较近的一端起，到目标方向线的夹角，如图所示：射线OA为北偏东60，射线OB为南偏西30，此外，东、南、西、北四个方向角平分线分别是东北、东南、西南、西北。例1 如图，山脚下有一颗树AB，小华从点B沿山坡向上走50米到达点D，用高为1.5m的测角仪CD测得树顶的仰角为10，已知山坡的坡角为15，求树AB的高（精确到0.1m）（已知）。例2.小刚面对黑板坐在椅子上。若把黑板看做矩形，其上的一个字看作点E，过点E的该矩形的高为BC，把小刚眼睛看做点A。现测得BC=1.41米，视线AC恰与水平线平行,视线AB与AC的夹角为25,视线AE与AC的夹角为20，求AC与AE的长（精确到0.1米）。例3 某校教学楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，如图。BC/AD，斜坡AB长22m，坡角BAD=68，为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对土坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过50时，可确保山体不滑坡。（1） 求改造前坡顶与地面的距离BE的长；（精确到0.1m）（2） 为确保安全，学校计

5、划改造时，保持坡脚A不动，坡顶B沿BC前进到F点处，问BF至少是多少？（精确到0.1m）（）例4如图，矩形ABCD是供一辆机动车停放的车位示意图,请你参考图中数据，计算车位所占街道的宽度EF。（参考数据：结果精确到0.1m）例5要求的值,可构造直角三角形,作RtABC,使C=90,两直角边AC=BC=,则ABC=45,所以.你能否在此基础上,求出的值？例6 在学习实践科学发展观的活动中,某单位在如图所示的办公楼迎街的墙面上垂直挂了一长为30米的宣传条幅AE，张明同学站在离办公楼的地面C处测得条幅顶端A的仰角为50,测得条幅底端E的仰角为30.问张明同学是在离该单位办公楼水平距离多远的地方进行测量？（精确到整数米）例7某轮船自西向东航行，在A处测得某岛C在其北偏东60方向上，前进8千米到达B，测得该岛在轮船的北偏东30方向上，问轮船继续前进多少千米与小岛的距离最近？第4讲 船有触礁的危险吗本节内容：方向角的定义 解直角三角形（重点） 解直角三角形的实际应用（难点）例1 某次台风袭击了我国南部海域。如图，台风来临前，我们海上搜救中心A接到一越南籍渔船遇险的报警，于是指令位于A的正南方向18

6、0海里的救援队B立即前往施救。已知渔船所处位置C在A的南偏东34方向，在B的南偏东63方向，此时离台风来到C处还有12小时，如果救援船每小时行驶20海里，试问能否在台风来到之前赶到C处对其施救？（参考数据：）解直角三角形（重点）在直角三角形中，由已知一些边、角，求出另一些边、角的过程，叫做解直角三角形。在RtABC中，C=90，A、B、C所对的边分别为。（1） 三边之间关系：（2） 锐角之间关系：A+B=90（3） 边角之间关系：（4） 面积公式： 在直角三角形中，除直角的五个量中，若已知其中的两个量（其中至少有一条边），就可以求出另外三个未知量，有如下四种类型：RtABC中，C=90已知选择的边角关系斜边和一直角边由，求A；B=90-A，两直角边由，求A；B=90-A，斜边和一锐角B=90-A；一直角边和一锐角B=90-A；，注意：（1） 在解直角三角形中，正确选择关系式是关键：若求边：一般用未知边比已知边，求寻找已知角的某一个三角函数；若求角：一般用已知边比已知边，去寻找未知角的某一个三角函数；求某些未知量的途径往往不唯一。选择关系式常遵循以下原则：一是尽量选可以直接应用原始数据的

7、关系式；二是设法选择便于计算的关系式，若能用乘法计算就避免用除法计算。（2） 对于含有非基本量的直角三角形，比如有些条件中已知两边之和，中线、高线、角平分线长，角之间的关系，锐角三角函数值，周长、面积等等。对于这类问题，我们常用的解题方法是：将非基本量转化为基本量，或由基本量间关系通过列方程（组），然后解方程（组），求出一个或两个基本量，最终达到解直角三角形的目的。（3） 在非直角三角形的问题中，往往是通过作三角形的高，构成直角三角形来解决，而作高时，常从非特殊角的顶点作高；对于较复杂的图形，往往通过“补形”或“分割”的方法，构造出直角三角形，利用解直角三角形的方法，实现问题的有机转化。例2某公园“六一”亲新增设一台滑梯，如图。滑梯高度AC=2m，滑梯着地点B与梯架之间的距离BC=4m。（1）求滑梯AB的长；（结果精确到0.1m）（2）若规定滑梯的倾斜角（ABC）不超过45属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合要求？3、解直角三角形的实际应用（难点）在解决实际问题时，解直角三角形有着广泛的应用，我们要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题来解决，具体地说，要求我们善于将某

8、些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素（边、角）之间的关系，这样就可运用解直角三角形的方法了。一般有以下几个步骤：1.审题：认真分析题意，根据题目中的已知条件，画出它的平面图，弄清已知和未知；2.明确题目中的一些名词、术语的汉语，如仰角、俯角、跨度、坡角、坡度及方向角；3.是直角三角形的，根据边角关系进行计算；若不是直角三角形，应大胆尝试添加辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形，把实际问题转化为直角三角形进行解决；4.确定合适的边角关系，细心推理计算。例3 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数千米范围内形成旋风暴，有极强的破坏力。根据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米的B处有一台风中心，其中心的最大风力为12级，每远离台风中心20千米，台风就会弱一级。台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市风力达到或超过4级，则称为受台风影响。（1） 该城市是否会受到这次台风的影响？请说明理由。（2） 若会受到台风影响，那么台风影响该市的持续时间有多长？典型例题：例1在ABC中，已知AB=1，AC=，ABC=45，求BC的长。例2如图，甲、乙两只捕捞船同时从A港出海捕鱼。甲船以每小时15千米的速度沿北偏西60方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北方向前进。甲船航行2小时到达C处，此时甲船发现鱼具丢在了乙船上，于是甲船快速（匀速）沿北偏东75的方向追赶，结果两船在B处相遇。（1） 甲船从C处追赶乙船用了多长时间？（2） 甲船追赶乙船的速度是每小时多少千米？例3某年入夏以来，松花江哈尔滨段水位不断下降，一条船在松花江某段自西向东沿直线航行，在A处测得航标C在北偏东60防西哪个上。前进100m到达B处，又测得航标C在北偏东45方向上（如图），在

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