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（新课程）高中数学《2.2.2 反证法》教案新人教A版选修1-2

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常见问题

1、2.2.2 反证法教学要求：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程、特点.教学重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.教学过程：一、复习准备：1. 讨论：三枚正面朝上的硬币，每次翻转2枚，你能使三枚反面都朝上吗？（原因：偶次）2. 提出问题：平面几何中，我们知道这样一个命题：“过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆”. 讨论如何证明这个命题？3. 给出证法：先假设可以作一个O过A、B、C三点，则O在AB的中垂线l上，O又在BC的中垂线m上，即O是l与m的交点。但 A、B、C共线，lm(矛盾) 过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆.二、讲授新课：1. 教学反证法概念及步骤：练习：仿照以上方法，证明：如果ab0，那么提出反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.证明基本步骤：假设原命题的结论不成立从假设出发，经推理论证得到矛盾矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，

2、或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）.方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实. 注：结合准备题分析以上知识.2. 教学例题：出示例1：求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分. 分析：如何否定结论？如何从假设出发进行推理？得到怎样的矛盾？与教材不同的证法：反设AB、CD被P平分，P不是圆心，连结OP，则由垂径定理：OPAB，OPCD，则过P有两条直线与OP垂直（矛盾），不被P平分. 出示例2：求证是无理数. （同上分析板演证明，提示：有理数可表示为）证：假设是有理数，则不妨设（m,n为互质正整数），从而：，可见m是3的倍数.设m=3p（p是正整数），则，可见n 也是3的倍数.这样，m, n就不是互质的正整数（矛盾）. 不可能，是无理数. 练习：如果为无理数，求证是无理数.提示：假设为有理数，则可表示为（为整数），即. 由，则也是有理数，这与已知矛盾. 是无理数.3. 小结：反证法是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确. 注意证明步骤和适应范围（“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征的问题）三、巩固练习： 1. 练习：教材P54 1、2题 2. 作业：教材P54 A组3题.1

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