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信号与系统连续时间LTI系统的几种响应求解方法与例题

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1、连续时间LTI系统的响应,1. 经典时域分析方法:,求解微分方程,2. 卷积法:,系统完全响应 = 零输入响应 + 零状态响应,求解齐次微分方程得到零输入响应,利用卷积积分可求出零状态响应,二、卷积法,系统完全响应 = 零输入响应 + 零状态响应,1.系统的零输入响应是输入信号为零，仅由系统的初始状态单独作用而产生的输出响应。,数学模型:,求解方法：根据微分方程的特征根确定零输入响应的形式,再由初始条件确定待定系数。,解: 系统的特征方程为,例1 已知某线性时不变系统的动态方程式为: y (t)+5y (t) +6y (t) =4f(t), t0 系统的初始状态为y(0-) = 1，y (0-) = 3，求系统的零输入响应yx(t)。,系统的特征根为,y(0-)=yx(0-)=K1+K2=1 y (0-)= yx(0-)= - 2K1-3K2 =3,解得 K1= 6，K2= -5,例2 已知某线性时不变系统的动态方程式为: y (t)+4y (t) +4y (t) = 2f (t )+3f(t), t0 系统的初始状态为y(0-) = 2，y(0-) = -1，求系统的零输入响应yx

2、(t)。,解: 系统的特征方程为,系统的特征根为,（两相等实根）,y(0-)=yx(0-)=K1=2; y(0-)= yx(0-)= -2K1+K2 =-1,解得 K1 = 2, K2= 3,例2-4-3 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程初始条件y(0+)=1, y (0+)=2, 输入信号f (t)=e-t u(t)，(1)求系统的零状态响应y(t) 。,特征根为,齐次解yh(t),解: (1) 求齐次方程y(t)+6y(t)+8y(t) = 0的齐次解yh(t),特征方程为,t0,例已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程初始条件y(0)=1, y (0)=2, 输入信号f (t)=e-t u(t)，求系统的完全响应y(t)。,解: (2) 求非齐次方程y(t)+6y(t)+8y(t) = f(t)的特解yp(t),由输入f (t)的形式，设方程的特解为,yp(t) = Ce-t,将特解带入原微分方程即可求得常数C=1/3。,t0,例已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程初始条件y(0)=1, y (0)=2, 输入信号f (t)=e-t u(t)，求系统的完全响应y(t)。,解: (3) 求方程的全解,解得 A=5/2，B= -11/6,二、卷积法,系统完全响应 = 零输入响应 + 零状态响应,求解系统的零状态响应yf (t)方法： 1) 直接求解初始状态为零的微分方程。 2) 卷积法：利用信号分解和线性时不变系统的特性求解。,当系统的初始状态为零时，由系统的外部激励f(t)产生的响应称为系统的零状态响应，用yf (t)表示。,2.系统的零状态响应,卷积法求解系统零状态响应yf (t)的思路,1) 将任意信号分解为单位冲激信号的线性组合 2) 求出单位冲激信号作用在系统上的响应冲激响应 3) 利用线性时不变系统的特性，即可求出任意信号f(t)激励下系统的零状态响应yf (t) 。,卷积法求解系统零状态响应yf (t)推导,由时不变特性,由均匀特性,由积分特性,例已知某LTI系统的动态方程式为： y(t) + 3y(t) = 2f(t) 系统的冲激响应 h(t) = 2e-3t u(t), f(t) = 3u(t), 试求系统的零状态响应yf (t)。,解：,谢谢观看！ 2020,

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