章控制系统数学模型讲解材料

1、第1章 控制系统数学模型,本课程的任务是系统分析和系统设计。而不论是系统分析还是系统设计，本课程所研究的内容是基于系统的数学模型来进行的。因此，本章首先介绍控制系统的数学模型。,本章内容为： 1、状态空间表达式,2、由微分方程求出系统状态空间表达式,3、传递函数矩阵,4、离散系统的数学模型,5、线性变换,6、组合系统的数学描述,7、利用MATLAB进行模型之间的变换,1.1 状态空间表达式,1.1.1 状态、状态变量和状态空间,状态动态系统的状态是一个可以确定该系统行为的信息集合。这些信息对于确定系统未来的行为是充分且必要的。,状态空间以所选择的一组状态变量为坐标轴而构成的正交线性空间，称为状态空间。,例：如下图所示电路， 为输入量， 为输出量。,建立方程：,初始条件：,和 可以表征该电路系统的行为，就是该系统的一组状态变量,1.1.2 状态空间表达式,前面电路的微分方程组可以改写如下，并且写成矩阵形式：,系统的状态方程和输出方程一起，称为系统状态空间表达式，或称为系统动态方程，或称系统方程。,如果矩阵A, B, C, D中的所有元素都是实常数时，则称这样的系统为线性定常（LTI，即：

2、Linear Time-Invariant）系统。 如果这些元素中有些是时间 t 的函数，则称系统为线性时变系统。,严格地说，一切物理系统都是非线性的。可以用下面的状态方程和输出方程表示。如果不显含 t，则称为非线性定常系统。,1.1.3 状态变量的选取,（1） 状态变量的选取可以视问题的性质和输入特性而定,（2）状态变量选取的非惟一性,（3）系统状态变量的数目是惟一的,在前面的例子中，如果重新选择状态变量 则其状态方程为,输出方程为：,1.1.4 状态空间表达式建立的举例,例1-1 建立右图所示机械系统的状态空间表达式（注：质量块 m 的重量已经和弹簧 k 的初始拉伸相抵消）,根据牛顿第二定律,即：,选择状态变量,则：,机械系统的系统方程为,该系统的状态图如下,例1-2 建立电枢控制直流他励电动机的状态空间表达式,电枢回路的电压方程为,系统运动方程式为,（式中， 为电动势常数； 为转矩常数； 为折合到电动机轴上的转动惯量； 为折合到电动机轴上的粘性摩擦系数。）,可选择电枢电流 和角速度 为状态变量，电动机的电枢电压 为输入量，角速度 为输出量。,状态空间表达式,状态图如下：,例1-3

3、 建立单极倒立摆系统的状态空间表达式。 单级倒立摆系统是控制理论应用的一个典型的对象模型。,设小球的重心坐标为：,则,在水平方向，应用牛顿第二定律：,转动方向的力矩平衡方程式：,而有：,线性化：当 和 较小时 ，有,化简后，得,求解得：,选择状态变量 ， ， ， 为系统输入， 为系统输出,状态图为,1.2 由微分方程求状态空间表达式,一个系统，用线性定常微分方程描述其输入和输出的关系。通过选择合适的状态变量，就可以得到状态空间表达式。,这里分两种情况： 1、微分方程中不含输入信号导数项，（即1.2.1 中的内容）,2、微分方程中含有输入信号导数项，（即1.2.2 中的内容）,1.2.1 微分方程中不含有输入信号导数项,首先考察三阶系统，其微分方程为,选取状态变量,则有,写成矩阵形式,状态图如下：,一般情况下，n 阶微分方程为：,选择状态变量如下：,写成矩阵形式：,系统的状态图如下：,1.2.2 微分方程中含有输入信号导数项,首先考察三阶系统，其微分方程为,（一）待定系数法,选择状态变量：,其中，待定系数为：,于是,写成矩阵形式,系统的状态图,一般情况下，n 阶微分方程为：,选择 n 个

4、状态变量为,系统方程为,系统状态图如下,（二）辅助变量法,设 n 阶微分方程为：,Laplace变换，求传递函数,引入辅助变量 z,返回到微分方程形式：,以及,写成矩阵形式,注：如果输入项的导数阶次和输出项导数阶次相同，则有d。,例1-4 已知描述系统的微分方程为,试求系统的状态空间表达式。,解,（1）待定系数法,选择状态变量如下,其中,于是系统的状态空间表达式为,（2）辅助变量法,引入辅助变量z,选择状态变量,于是系统的状态空间表达式为,1.3 传递函数矩阵,传递函数系统初始松弛（即：初始条件为零）时，输出量的拉氏变换式与输入量的拉氏变换式之比。,在初始松弛时，求Laplace变换，并且化简,状态变量对输入量(输入到状态)的传递函数,输出量对输入量(输入到输出)的传递函数（即：传递函数）,例1-5 系统状态方程式为,求系统传递函数。,解：,1.3.2 传递函数矩阵,状态空间表达式为,进行拉普拉斯变换,如果 存在，则,如果 ，则,状态变量对输入向量(输入到状态)的传递函数矩阵：,而,输出对输入向量(输入到输出)的传递函数矩阵：,其结构为,式中， 表示只有第 j 个输入作用时，第 i 个

5、输出量 对第 j 个输入量 的传递函数。,例1-7 线性定常系统状态空间表达式为,求系统的传递函数矩阵。,解,1.3.3 正则（严格正则）有理传递函数（矩阵）,如果当 时， 是有限常量，则称有理函数 是正则的。若 ，则称 是严格正则的。,非正则传递函数描述的系统在实际的控制工程中是不能应用的，因为这时系统对高频噪声将会大幅度放大。例如微分器 为非正则系统，假如输入信号带有高频污染 经过微分器输出,可见，在微分器输入端，噪声的幅值只是有效信号幅值的百分之一，输出端噪声的幅值却是有效信号幅值的10倍，信噪比变得很小。,1.3.4 闭环系统传递函数矩阵,于是闭环系统的传递矩阵为,或,1.3.5 传递函数（矩阵）描述和状态空间描述的比较,1）传递函数是系统在初始松弛的假定下输入-输出间的关系描述，非初始松弛系统，不能应用这种描述；状态空间表达式即可以描述初始松弛系统，也可以描述非初始松弛系统。,2）传递函数仅适用于线性定常系统；而状态空间表达式可以在定常系统中应用，也可以在时变系统中应用。,3）对于数学模型不明的线性定常系统，难以建立状态空间表达式；用实验法获得频率特性，进而可以获得传递函数。

6、,4）传递函数仅适用于单入单出系统；状态空间表达式可用于多入多出系统的描述。,5）传递函数只能给出系统的输出信息；而状态空间表达式不仅给出输出信息，还能够提供系统内部状态信息。,综上所示，传递函数（矩阵）和状态空间表达式这两种描述各有所长，在系统分析和设计中都得到广泛应用。,1.4 离散系统的数学描述,1.4.1 状态空间表达式,选取状态变量,写成矩阵形式,可以表示为,其中,输出方程,推广到n阶线性定常差分方程所描述的系统,选取状态变量 ， ， ，,系统状态方程,输出方程,2. 差分方程中含有输入量差分项,先考察3阶线性定常差分方程,选择状态变量,待定系数为：,系统状态方程为,即：,输出方程为,即：,多输入-多输出线性时变离散系统状态空间表达式,当 、 、 和 的诸元素与时刻 无关时，即得线性定常离散系统状态空间表达式,如果 存在，则,如果初始松弛，则,其中， 为系统状态对输入量的脉冲传递函数矩阵,系统输出向量对输入向量的脉冲传递函数矩阵,解,对于SISO线性定常离散系统,系统脉冲传递函数为,1.5 线性变换,我们知道，状态变量的选取是非唯一的。选择不同的状态变量，则得到的状态空间表达

7、式也不相同。 由于它们都是同一个系统的状态空间描述，它们之间必然存在某种关系。这个关系就是矩阵中的线性变换关系。,求线性变换的目的：将系统矩阵变成为标准形，便于求解状态方程。,1.5.1 等价系统方程,1. 线性定常系统,（1）,为n 维状态向量； 为r 维输入向量； 为m维输出向量； 、 、 、 为相应维数的矩阵。,其中,于是，系统状态方程变为,（2）,方程（1）与方程（2）互为等价方程,对上式求导并代入,可以得到,又由,可以得到,1.5.2 线性变换的基本性质,1. 线性变换不改变系统的特征值,线性定常系统,系统的特征方程为,等价系统的特征方程为,可见线性变换不改变系统的特征值,2. 线性变换不改变系统的传递函数矩阵,时的传递函数矩阵,可见，经过线性变换，系统的传递函数矩阵不改变,1.5.3 化系数矩阵 A 为标准形,所谓标准形是指：对角形、约当形、模态形,例1-10 将矩阵 化为对角阵,解,解出,变换矩阵,如果矩阵 A 具有这样形式,范德蒙特矩阵,变换矩阵,2. 化矩阵 A 为约当形,如果矩阵 A 有重特征值，并且独立特征向量的个数小于n ,这时不能化为对角阵，只能化为约当形。,

8、确定变换矩阵,可以得到：,变换矩阵为,例1-12 化矩阵 为标准形矩阵,解,得出,求二重特征根对应的特征向量,得到,而由,得到,求特征值 对应的特征向量,得到,因此,设特征值为,在此情况下， A 的模态形为,设 为对应于 的特征向量，则,令,则,变换矩阵,例1-13 将 化为模态形,解,特征值为,解得,因此,1.6 组合系统的数学描述,工程中较为复杂的系统，通常是由若干个子系统按某种方式连接而成的。这样的系统称为组合系统。 组合系统形式很多，在大多数情况下，它们由并联、串联和反馈等3种连接方式构成的。 下面以两个子系统 和 构成的组合系统进行介绍。,的系统方程为,传递函数矩阵为,的系统方程为,传递函数矩阵为,传递函数矩阵,1.6.2 串联连接,串连组合后系统方程,1.6.3 反馈连接,组合后系统方程为,传递函数矩阵为,或,（1-125）,（1-126）,应当指出，在反馈连接的组合系统中， 或 存在的条件是至关重要的。否则反馈系统对于 某些输入就没有一个满足式（1-125）或式（1-126）的输出。就这个意义来说，反馈连接就变得无意义了。,1.7 利用MATLAB进行模型转换,MATLA

9、B是当今世界上最优秀的科技应用软件之一，它以强大的科学计算能力和可视化功能，简单易用的编程语言以及开放式的编程环境等一些显著的优点，使得它在当今许许多多科学技术领域中成为计算机辅助分析和设计、算法研究和应用开发的基本工具和首选平台。在本书中，用它作为系统分析和设计的软件平台，更显示出独特的优势。 本节利用MATLAB实现数学模型的转换。,可以用ss命令来建立状态空间模型。对于连续系统，其格式为 sys=ss(A,B,C,D)，其中A，B，C，D为描述线性连续系统的矩阵。 当sys1是一个用传递函数表示的线性定常系统时，可以用命令sys=ss(sys1)，将其转换成为状态空间形式。也可以用命令sys=ss(sys1,min)计算出系统sys的最小实现。,例1-15 控制系统微分方程为,求其状态空间表达式。,解,可以先将其转换成传递函数,输入下列命令,语句执行结果为,这个结果表示，该系统的状态空间表达式为,注意，在输入命令中，sys=ss(G)也可以改用A,B,C,D=tf2ss(num,den)，在本例中其作用和sys=ss(G)近似，也可以计算出矩阵A、B、C、D。,2. 离散系统的状态空间表达式,离散系统的状态空间表达式为,和连续系统状态空间表达式的输入方法相类似，如果要输入离散系统的状态空间表达式，首先需要输入矩阵G、H、C、d，然后输入语句 ，即可将其输入到MATLAB的workspace中，并且用变量名来表示这个离散系统，其中T为采样时间。如果Gyu表示一个以脉冲传递函数描述的离散系统，也可以用ss(Gyu )命令，将脉冲传递函数模型转换成状态空间表达式。,解,输入下列语句,语句执行的结果为,再输入语句 ，绘制出零、极点分布图如下,在执行完上述语句后，Gyu已经存在于MATLAB的workspace中，这时再执行语句,执行结果为,结果表示，离散系统的状态空间表达式为,1.7.2 求传递函数矩阵,在已知线性定常系统中的A、B、C和D矩阵之后，则该系统的传递函数矩阵可以按下式求出,例1-17 已知系统状态方程为,其

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