2020年高考数学(理)总复习:利用导数解决函数零点问题(解析版)
15页1、2020年高考数学(理)总复习:利用导数解决函数零点问题题型一利用导数讨论函数零点的个数【题型要点解析】对于函数零点的个数的相关问题,利用导数和数形结合的数学思想来求解这类问题求解的通法是:(1)构造函数,这是解决此类题的关键点和难点,并求其定义域;(2)求导数,得单调区间和极值点;(3)画出函数草图;(4)数形结合,挖掘隐含条件,确定函数图象与x轴的交点情况进而求解1.已知f(x)ax33x21(a0),定义h(x)maxf(x),g(x)(1)求函数f(x)的极值;(2)若g(x)xf(x),且存在x1,2使h(x)f(x),求实数a的取值范围;(3)若g(x)ln x,试讨论函数h(x)(x0)的零点个数【解】(1)函数f(x)ax33x21,f(x)3ax26x3x(ax2),令f(x)0,得x10或x2,a0,x1x2,列表如下:x(,0)0f(x)00f(x)递增极大值递减极小值递增f(x)的极大值为f(0)1,极小值为f11.(2)g(x)xf(x)3ax36x2,存在x1,2,使h(x)f(x),f(x)g(x)在x1,2上有解,即ax33x213ax36x2在x1,2
2、上有解,即不等式2a在x1,2上有解设y(x1,2),y0,即a2时,f(x)0在(0,)上恒成立,h(x)maxf(x),g(x)在(0,)上无零点当10,即a2时,f(x)minf(1)0.又g(1)0,h(x)maxf(x),g(x)在(0,)上有一个零点当10,即0a2时,设(x)f(x)g(x)ax33x21ln x(0x1),(x)3ax26x6x(x1)0,(x)在(0,1)上单调递减又(1)a20,存在唯一的x0,使得(x0)0,()当0xx0时,(x)f(x)g(x)(x0)0,h(x)f(x)且h(x)为减函数又h(x0)f(x0)g(x0)ln x00,h(x)在(0,x0)上有一个零点;()当xx0时,(x)f(x)g(x)(x0)0,h(x)g(x)且h(x)为增函数,g(1)0,h(x)在(x0,)上有一零点;从而h(x)maxf(x),g(x)在(0,)上有两个零点,综上所述,当0a2时,h(x)无零点题组训练一 利用导数讨论函数零点的个数已知函数f(x)lnxaxa2,aR.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)当a0)若a0,则f(x)0,函数f(x)
3、的单调递增区间为(0,);若a0,当0x0,函数f(x)单调递增,当x时,f(x)0时,函数f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.(2)g(x)xlnxax2ax2x2,g(x)axlnxa1.又a0,易知g(x)在(0,)上单调递增,g(1)10,故而g(x)在(1,e)上存在唯一的零点x0,使得g(x0)0.当0xx0时,g(x)x0时,g(x)0,g(x)单调递增,取x1ea,又a0,0x11,g(x1)x1ea,设h(a)aaeaa2,(a0),h(a)aeaea2,(a0,h(a)在(,0)上单调递增,h(a)h(0)h(0)0,g(x1)0,即当a0.当x趋于时,g(x)趋于,且g(2)2ln220.函数g(x)在(0,)上始终有两个零点题型二由函数零点个数求参数的取值范围【题型要点解析】研究方程的根(或函数零点)的情况,可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等,并借助函数的大致图象判断方程根(函数零点)的情况,这是导数这一工具在研究方程中的重要应用已知函数f(x),曲线yf(x)在点(e2,f(e2)处的切线与直线2xy0垂直(其中e为自然对数的底数)
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