2020年高考数学（理）总复习：利用导数解决函数零点问题（解析版）

2020年高考数学（理）总复习：利用导数解决函数零点问题题型一利用导数讨论函数零点的个数【题型要点解析】对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解这类问题求解的通法是：(1)构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；(2)求导数，得单调区间和极值点；(3)画出函数草图；(4)数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解1.已知f(x)ax33x21(a>0)，定义h(x)maxf(x)，g(x)(1)求函数f(x)的极值；(2)若g(x)xf(x)，且存在x1,2使h(x)f(x)，求实数a的取值范围；(3)若g(x)ln x，试讨论函数h(x)(x>0)的零点个数【解】(1)函数f(x)ax33x21，f(x)3ax26x3x(ax2)，令f(x)0，得x10或x2，a>0，x1<x2，列表如下：x(，0)0f(x)00f(x)递增极大值递减极小值递增f(x)的极大值为f(0)1，极小值为f11.(2)g(x)xf(x)3ax36x2，存在x1,2，使h(x)f(x)，f(x)g(x)在x1,2上有解，即ax33x213ax36x2在x1,2上有解，即不等式2a在x1,2上有解设y(x1,2)，y<0对x1,2恒成立，y在x1,2上单调递减，当x1时，y的最大值为4，2a4，即a2.(3)由(1)知，f(x)在(0，)上的最小值为f1，当1>0，即a>2时，f(x)>0在(0，)上恒成立，h(x)maxf(x)，g(x)在(0，)上无零点当10，即a2时，f(x)minf(1)0.又g(1)0，h(x)maxf(x)，g(x)在(0，)上有一个零点当1<0，即0<a<2时，设(x)f(x)g(x)ax33x21ln x(0<x<1)，(x)3ax26x<6x(x1)<0，(x)在(0,1)上单调递减又(1)a2<0，>0，存在唯一的x0，使得(x0)0，()当0<xx0时，(x)f(x)g(x)(x0)0，h(x)f(x)且h(x)为减函数又h(x0)f(x0)g(x0)ln x0<ln 10，f(0)1>0，h(x)在(0，x0)上有一个零点；()当x>x0时，(x)f(x)g(x)<(x0)0，h(x)g(x)且h(x)为增函数，g(1)0，h(x)在(x0，)上有一零点；从而h(x)maxf(x)，g(x)在(0，)上有两个零点，综上所述，当0<a<2时，h(x)有两个零点；当a2时，h(x)有一个零点；当a>2时，h(x)无零点题组训练一 利用导数讨论函数零点的个数已知函数f(x)lnxaxa2，aR.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a<0时，试判断g(x)xf(x)2的零点个数【解析】(1)f(x)(x>0)若a0，则f(x)>0，函数f(x)的单调递增区间为(0，)；若a>0，当0<x<时，f(x)>0，函数f(x)单调递增，当x>时，f(x)<0，函数f(x)单调递减，综上，若a0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，)；若a>0时，函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.(2)g(x)xlnxax2ax2x2，g(x)axlnxa1.又a<0，易知g(x)在(0，)上单调递增，g(1)1<0，g(e)aeaa(1e)>0，故而g(x)在(1，e)上存在唯一的零点x0，使得g(x0)0.当0<x<x0时，g(x)<0，g(x)单调递减；当x>x0时，g(x)>0，g(x)单调递增，取x1ea，又a<0，0<x1<1，g(x1)x1ea，设h(a)aaeaa2，(a<0)，h(a)aeaea2，(a<0)，h(0)，h(a)eaeaeaaea>0，h(a)在(，0)上单调递增，h(a)<h(0)<0，h(a)在(，0)上单调递减，h(a)>h(0)0，g(x1)>0，即当a<0时，g(ea)>0.当x趋于时，g(x)趋于，且g(2)2ln22<0.函数g(x)在(0，)上始终有两个零点题型二由函数零点个数求参数的取值范围【题型要点解析】研究方程的根(或函数零点)的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，并借助函数的大致图象判断方程根(函数零点)的情况，这是导数这一工具在研究方程中的重要应用已知函数f(x)，曲线yf(x)在点(e2，f(e2)处的切线与直线2xy0垂直(其中e为自然对数的底数)(1)求f(x)的解析式及单调减区间；(2)若函数g(x)f(x)无零点，求k的取值范围【解析】(1)函数f(x)的导数为f(x)，又由题意有：f(e2)m2，故f(x).此时f(x)，由f(x)00<x<1或1<xe，所以函数f(x)的单调减区间为(0,1)和(1，e(2)g(x)f(x)g(x)x，且定义域为(0,1)(1，)，要函数g(x)无零点，即要在x(0,1)(1，)内无解，亦即要klnx0在x(0,1)(1，)内无解构造函数h(x)klnxh(x).当k0时，h(x)<0在x(0,1)(1，)内恒成立，所以函数h(x)在(0,1)内单调递减，h(x)在(1，)内也单调递减. 又h(1)0，所以在(0,1)内无零点，在(1，)内也无零点，故满足条件；当k>0时，h(x)h(x)，(i)若0<k<2，则函数h(x)在(0,1)内单调递减，在内也单调递减，在内单调递增，又h(1)0，所以在(0,1)内无零点；易知h<0，而h(e)k2>0，故在内有一个零点，所以不满足条件；(ii)若k2，则函数h(x)在(0,1)内单调递减，在(1，)内单调递增又h(1)0，所以x(0,1)(1，)时，h(x)>0恒成立，故无零点，满足条件；(iii)若k>2，则函数h(x)在内单调递减，在内单调递增，在(1，)内单调递增，又h(1)0，所以在及(1，)内均无零点又易知h<0，而h(ek)k(k)22ek2ekk22，又易证当k>2时，h(ek)>0，所以函数h(x)在内有一零点，故不满足条件综上可得：k的取值范围为：k0或k2.题组训练二 由函数零点个数求参数的取值范围已知函数f(x)ln xax(ax1)，其中aR.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)在(0,1内至少有1个零点，求实数a的取值范围【解析】(1)依题意知，函数f(x)的定义域为(0，)，且f(x)2a2xa，当a0时，f(x)ln x，函数f(x)在(0，)上单调递增；当a>0时，由f(x)>0，得0<x<，由f(x)<0，得x>，函数f(x)上单调递增，在上单调递减当a<0时，由f(x)>0，得0<x<，由f(x)<0，得x>，函数f(x)在上单调递增，在上单调递减(2)当a0时，函数f(x)在内有1个零点x01；当a>0时，由(1)知函数f(x)在上单调递增，在上单调递减若1，即0<a时，f(x)在(0,1上单调递增，由于当x0时，f(x)且f(1)a2a<0知，函数f(x)在(0,1内无零点；若0<<1，即当a>时，f(x)在上单调递增，在上单调递减，要使函数f(x)在(0,1内至少有1个零点，只需满足f0，即ln ，又a>，ln <0，不等式不成立f(x)在(0,1内无零点；当a<0时，由(1)知函数f(x)在上单调递增，在上单调递减若1，即1a<0时，f(x)在(0,1上单调递增，由于当x0时，f(x)，且f(1)a2a>0，知函数f(x)在(0,1内有1个零点；若0<<1，即a<1时，函数f(x)在上单调递增，在上单调递减，由于当x0时，f(x)，且当a<1时，fln <0，知函数f(x)在(0,1内无零点综上可得a的取值范围是1,0题型三利用导数证明复杂方程在某区间上仅有一解【题型要点解析】证明复杂方程在某区间上有且仅有一解的步骤：(1)在该区间上构造与方程相应的函数；(2)利用导数研究该函数在该区间上的单调性；(3)判断该函数在该区间端点处的函数值的符号；(4)作出结论已知函数f(x)(x22x)ln xax22.(1)当a1时，求f(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)当a>0时，设函数g(x)f(x)x2，且函数g(x)有且仅有一个零点，若e2<x<e，g(x)m，求m的取值范围【解析】(1)当a1时，f(x)(x22x)ln xx22，定义域为(0，)，f(x)(2x2)ln xx22x(2x2)lnxx2.f(1)3，又f(1)1，f(x)在(1，f(1)处的切线方程3xy40.(2)令g(x)f(x)x20，则(x22x)ln xax22x2，即a，令h(x)，则h(x).令t(x)1x2ln x，t(x)1，t(x)<0，t(x)在(0，)上是减函数，又t(1)h(1)0，所以当0<x<1时，h(x)>0，当x>1时，h(x)<0，所以h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，h(x)maxh(1)1.因为a>0，所以当函数g(x)有且仅有一个零点时，a1.g(x)(x22x)ln xx2x，若e2<x<e，g(x)m，只需g(x)maxm，g(x)(x1)(32ln x)，令g(x)0得x1，或xe，又e2<x<e函数g(x)在(e2，e)上单调递增，在(e，1)上单调递减，在(1，e)上单调递增，又g(e)e32e，g(e)2e23e，g(e)e32e<2e<2e<2eg(e)，即g(e)<g(e)，g(x)maxg(e)2e23e，m2e23e.题组训练三 利用导数证明复杂方程在某区间上仅有一解已知y4x33tx26t2xt1，xR，tR.(1)当x为常数时，t在区间变化时，求y 的最小值(x)；(2)证明：对任意的t(0，)，总存在x0(0,1)，使得y0.【解析】(1)当x为常数时，设f(t)