经济学专业数学不定积分的换元积分法与分部积分法配套课件
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1、2020年5月7日星期四 1 复习引入 Introduction 在上次课中 我们学习了 不定积分的概念和性质 给出了 基本积分公式表 但是 对于形如 这样的积分 利用不定积分的性质和基本积分公式表 我们就无能为力了 为此 2020年5月7日星期四 2 第三节换元积分法与分部积分法 第四章 一 换元积分法 二 分部积分法 三 小结与思考题 2020年5月7日星期四 3 设 可导 则有 基本思路 2020年5月7日星期四 4 一 第一类换元积分法 定理1 则有换元 公式 也称配元法 凑微分法 2020年5月7日星期四 5 解 2020年5月7日星期四 6 解 所以 2020年5月7日星期四 7 解 2020年5月7日星期四 8 例4求 答案 例5求 例6求 答案 例7求 答案 例8求 答案 或 2020年5月7日星期四 9 答案 答案 答案 答案 答案 自学课本例14 2020年5月7日星期四 10 万能凑幂法 常用的几种配元形式 2020年5月7日星期四 11 2020年5月7日星期四 12 二 第二类换元法 第一类换元法解决的问题 难求 易求 若所求积分 易求 则用第二类换元积分法
2、难求 2020年5月7日星期四 13 是单调可导函数 且 具有原函数 证 令 则 则有换元公式 定理2设 2020年5月7日星期四 14 解 令 则 原式 例14求 2020年5月7日星期四 15 解 令 则 原式 例15求 2020年5月7日星期四 16 解 令 则 原式 例16求 2020年5月7日星期四 17 令 于是 2020年5月7日星期四 18 或 从上面三个例子 可以看出如果被积函数含有 可作代换 可作代换 可作代换 2020年5月7日星期四 19 解 于是 2020年5月7日星期四 20 常用基本积分公式的补充 2020年5月7日星期四 21 2020年5月7日星期四 22 新知识引入 Introduction 前面 我们利用复合函数的求到法则得到了 换元积分法 但是 对于形如 的积分用直接积分法或换元积分法都无法计算 注意到 这些积分的被积函数都有共同的特点 都是两种不同类型函数的乘积 这就启发我们把两个 这就是另一个基本的积分方法 分部积分法 函数乘积的微分法则反过来用于求这类不定积分 2020年5月7日星期四 23 积分得 分部积分公式 或 1 v容易求得 容易计
3、算 由导数乘法公式 2020年5月7日星期四 24 第四章 IntegrationbyParts 例18求 解 令 则 原式 另解 令 则 原式 三 分部积分法 答案 2020年5月7日星期四 25 解 原式 解 2020年5月7日星期四 26 解 令 则 原式 例22求 2020年5月7日星期四 27 解 2020年5月7日星期四 28 解 令 则 原式 例24求 2020年5月7日星期四 29 解 令 则 原式 再令 则 故原式 说明 也可设 为三角函数 但两次所设类型 必须一致 例25求 自学课本例26 28 2020年5月7日星期四 30 解 令 则 原式 令 例26求 2020年5月7日星期四 31 把被积函数视为两个函数之积 按 反对幂指三 的 顺序 前者为后者为 例5 补充题 求 解 令 则 原式 反 反三角函数对 对数函数幂 幂函数指 指数函数三 三角函数 解题技巧 自学课本例5 6 2020年5月7日星期四 32 解 令 则 原式 例6 补充题 求 2020年5月7日星期四 33 本节小结 2 分部积分公式 1 使用原则 2 使用经验 反对幂指三 前u后 3 题目类型 分部化简 循环解出 递推公式 1 换元积分法 2020年5月7日星期四 34 课后练习 习题4 32单数 3单数 思考与练习 1 下列各题求积方法有何不同 2020年5月7日星期四 35 2 下列积分应如何换元才使积分简便 令 令 令 2020年5月7日星期四 36 3 求下列积分 2020年5月7日星期四 37 4 下述运算错在哪里 应如何改正 得0 1 答 不定积分是原函数族 相减不应为0 求此积分的正确作法是用换元法 2020年5月7日星期四 38 求不定积分 解 利用凑微分法 原式 令 得 5
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