全国高中数学联合竞赛预赛模拟题
4页全国高中数学联合竞赛预赛模拟题一、填空题(本题满分56分,每小题7分. )1已知复数满足,则 0 2设,则的值域为3设等差数列的前n项和为,若,则中最大的是4已知O是锐角ABC的外心,若,且,则5已知正方体的棱长为1,O为底面ABCD的中心,M,N分别是棱A1D1和CC1的中点则四面体的体积为6设,且,则符合条件的共有 1600 组(注:顺序不同视为不同组)7设,则的最小值为8设p是给定的正偶数,集合的所有元素的和是二、解答题(本题满分64分,第9题14分,第10题15分,第11题15分,第12题20分. )9设数列满足,其中(1)证明:对一切,有;(2)证明:证明 (1)在已知关系式中,令,可得;令,可得 令,可得 由得,代入,化简得 -7分(2)由,得,故数列是首项为,公差为2的等差数列,因此于是因为,所以 -14分10求不定方程的正整数解的组数解 令,则先考虑不定方程满足的正整数解,-5分当时,有,此方程满足的正整数解为当时,有,此方程满足的正整数解为所以不定方程满足的正整数解为 -10分又方程的正整数解的组数为,方程的正整数解的组数为,故由分步计数原理知,原不定方程的正整数解的组数为 -15分11已知抛物线C:与直线l:没有公共点,设点P为直线l上的动点,过P作抛物线C的两条切线,A,B为切点(1)证明:直线AB恒过定点Q;(2)若点P与(1)中的定点Q的连线交抛物线C于M,N两点,证明:证明 (1)设,则由得,所以于是抛物线C在A点处的切线方程为,即设,则有设,同理有所以AB的方程为,即,所以直线AB恒过定点 -7分 (2)PQ的方程为,与抛物线方程联立,消去y,得设,则 要证,只需证明,即 由知,式左边=故式成立,从而结论成立 -15分12设为正实数,且证明:证明 因为,要证原不等式成立,等价于证明 -5分事实上, -10分由柯西不等式知 -15分又由知 由,可知式成立,从而原不等式成立 -20分
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