高等数学考点
34页1、高等数学考点1 数学 1.1 空间解析几何1.1.1向量的线性运算1、向量的概念定义:既有大小又有方向的量称为向量,向量的模:向量的长度(大小)单位向量:模为1的向量 零向量:模为0的向量,方向不固定 相等向量:大小相等,方向相同负向量:大小相同,方向相反2、向量的表示法(1)向量的分解式:向量在三个坐标轴上的分向量:x,y,z(2)向量的坐标表示:,其中,为向量在xyz轴上的投影3、向量的线性运算,则1.1.2向量的数量积、向量积及混合积;1、向量的数量积两向量夹角的坐标余弦:2、向量积3、混合积1.1.3两向量垂直、平行的条件;1.1.4直线方程、平面方程平面与平面、直线与直线、平面与直线之间的位置关系,点到平面、直线的距离;对于(A2+B2+C20),其特殊情形如下:当D=0时,当A=0时,同理当B=0时, 当C=0时, ,其他同理1.1.5球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程;1、旋转曲面设有平面曲线L:曲线L绕x轴旋转所成的旋转曲面方程为:曲线L绕y轴旋转所成的旋转曲面方程为:列:求坐标面XOZ上的双曲面分别绕x轴和z轴旋转一周所生成的旋转曲面方程?解
2、:绕x轴旋转所成的旋转曲面方程为: 绕z轴旋转所成的旋转曲面方程为: 2、柱面定义:平行于定直线并沿定曲线C移动的直线所形成的曲面!这条定曲线叫柱面的准线,动直线叫柱面的母线!如图所示从柱面方程看柱面的特征:只含x,y而缺z的方程,在空间视角坐标中表示母线平行于z轴的柱面,其准线为Xoy面上曲线C!例如:表示抛物柱面,母线平行于z轴,准线为xoy面上的抛物线;1.1.6常用的二次曲面方程椭圆锥面:椭圆面:,椭圆抛物面:,双曲抛物面(鞍型曲面):,单叶双曲面:,双叶双曲面,1.1.7空间曲线在坐标面上的投影曲线方程!1、空间直线的方程 直线可视为两平面交线,因此其一般式方程为:,其图示为:已知直线上一点 也称为点向式方程,说明:某些分母为零时,其分子也理解为零,列如,当n=0,m0,p0时,直线方程为:参数式方程设例:已知平面过点(0,0,1)(0,1,1)(1,1,0),则与该平面垂直且过点(1,1,1)的直线的对称方程为: 解:平面的法向量,所求直线的方向向量为i+k,故应选(B)(1)空间曲线的方程空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组:(2)空间曲线在坐标面上的投影设空间
3、曲线C的一般方程为,消去z得投影柱面H(x,y)=0,则C在xoy面上的投影曲线为 例:空间曲线 y解:消去方程组中的变量z得到,这是所给曲线关于xoy面的投影柱面的方程,曲线在xoy平面的投影方程应是答案D1.2 微分学1.2.1函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 1函数的单调性设函数f(x)在区间I上有定义,若对于任意x1,x2I,当x1x2时都有f(x1) f(x2)成立,则称函数在区间I上单调增加或单调减少!2函数的有界性设函数f(x)在区间I上有定义,若存在正数M,使得对任何xI,都有f(x)M成立,则称函数f(x)在区间I上有界,若这样的M不存在,则函数f(x)在区间I上无界!3函数的周期性设函数f(x)的定义域R为(-,+),若存在常数T0,使得对于任何xR,都有f(x+T)=f(x)成立,则称f(x)为周期函数,称满足上式的最小正数T为函数的周期!4函数的奇偶性设函数f(x)的定义域D是关于原点对称的,若xD,-xD,若对于任何xD,有f(-x)=f(x)成立,则称f(x)为偶函数,若对上述x有f(-x)=- f(x)则称f(x)为奇函数!1.2.2数列极限与函数极限
4、的定义及其性质,其中=f(x)-A为xx0的无穷小!1.2.3无穷小和无穷大的概念及其关系1 2无穷小量运算性质:有限个无穷小的和也是无穷小!有界函数与无穷小的乘积是无穷小!常数与无穷小的乘积是无穷小!有限个无穷小的乘积也是无穷小!3无穷小的比较(1)4常用的等价无穷小有:1.2.4无穷小的性质及无穷小的比较极限的四则运算有限个无穷小的和也是无穷小!有界函数与无穷小的乘积是无穷小!常数与无穷小的乘积是无穷小!有限个无穷小的乘积也是无穷小!常用的求极限方法:(1)利用极限与左右极限的关系,求分段函数在分界点处得极限!(2)利用四则运算法则;(3)利用极限存在准则:夹逼定律、单调有界数列必有极限;(4)利用等价无穷小代替;(5)利用无穷大量与无穷小量的关系;(6)利用两个重要极限:(7)利用公式 (8)利用变量替换(9)利用初等函数的连续性(10)利用罗比达法则求未定型的极限1.2.5函数连续的概念连续函数的定义1.2.6函数间断点及其类型1.2.7导数与微分的概念1.2.8导数的几何意义和物理意义导数的几何意义为切线的斜率,物理意义为加速度!1.2.9平面曲线的切线和法线1.2.10导数
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