全国高中数学联合竞赛预赛模拟题
全国高中数学联合竞赛预赛模拟题一、填空题（本题满分56分，每小题7分. ）1已知复数满足，则 0 2设，则的值域为3设等差数列的前n项和为，若，则中最大的是4已知O是锐角ABC的外心，若，且，则5已知正方体的棱长为1，O为底面ABCD的中心，M，N分别是棱A1D1和CC1的中点则四面体的体积为6设，且，则符合条件的共有 1600 组（注：顺序不同视为不同组）7设，则的最小值为8设p是给定的正偶数，集合的所有元素的和是二、解答题（本题满分64分，第9题14分，第10题15分，第11题15分，第12题20分. ）9设数列满足，其中（1）证明：对一切，有；（2）证明：证明 （1）在已知关系式中，令，可得；令，可得 令，可得 由得，代入，化简得 -7分（2）由，得，故数列是首项为，公差为2的等差数列，因此于是因为，所以 -14分10求不定方程的正整数解的组数解 令，则先考虑不定方程满足的正整数解，-5分当时，有，此方程满足的正整数解为当时，有，此方程满足的正整数解为所以不定方程满足的正整数解为 -10分又方程的正整数解的组数为，方程的正整数解的组数为，故由分步计数原理知，原不定方程的正整数解的组数为 -15分11已知抛物线C：与直线l：没有公共点，设点P为直线l上的动点，过P作抛物线C的两条切线，A，B为切点(1)证明：直线AB恒过定点Q；(2)若点P与（1）中的定点Q的连线交抛物线C于M，N两点，证明：证明 (1)设，则由得，所以于是抛物线C在A点处的切线方程为，即设，则有设，同理有所以AB的方程为，即，所以直线AB恒过定点 -7分 (2)PQ的方程为，与抛物线方程联立，消去y，得设，则 要证，只需证明，即 由知，式左边=故式成立，从而结论成立 -15分12设为正实数，且证明：证明 因为，要证原不等式成立，等价于证明 -5分事实上， -10分由柯西不等式知 -15分又由知 由，可知式成立，从而原不等式成立 -20分
