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空间向量的正交分解及其坐标表示-课件-(人教版)

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常见问题

1、空间向量的正交分解及其坐标表示 1 理解空间向量基本定理并能用基本定理解决一些几何问题 2 理解基底基向量及向量的线性组合的概念 3 掌握空间向量的坐标表示能在适当的坐标系中写出向量的坐标 1 空间向量基本定理重点 2 用基底表示已知向量难点 3 在不同坐标系中向量坐标的相对性易错点 1 平面向量基本定理的内容是如果e1 e2是同一平面内的两个不共线向量那么对于这一平面内的任意向量a 有且只有一对实数 1 2 使不共面的向量e1 e2叫做这一平面内所有向量的一组 2 在平面内把一个向量分解成两个互相垂直的向量叫做把向量 a 1e1 2e2 基底正交分解 7 4 问题我们知道平面内的任意一个向量都可以用两个不共线的向量来表示平面向量基本定理对于空间任意一个向量有没有类似的结论呢一空间向量的坐标分解给定一个空间坐标系和向量且设为空间两两垂直的向量设点Q为点P在所确定平面上的正投影一空间向量的坐标分解由此可知如果是空间两两垂直的向量那么对空间任一向量存在一个有序实数组 x y z 使得我们称为向量在上的分向量空间向量基本定理都叫做

2、基向量注探究在空间中如果用任意三个不共面向量代替两两垂直的向量你能得出类似的结论吗如果三个向量不共面那么对空间任一向量存在有序实数组使 1 任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底特别提示对于基底 a b c 除了应知道a b c不共面还应明确 2 由于可视为与任意一个非零向量共线与任意两个非零向量共面所以三个向量不共面就隐含着它们都不是 3 一个基底是指一个向量组一个基向量是指基底中的某一个向量二者是相关连的不同概念二空间直角坐标系 x y z e1 e2 e3 O 单位正交基底如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直且长都为1 则这个基底叫做单位正交基底常用表示空间直角坐标系在空间选定一点O和一个单位正交基底以点O为原点分别以的方向为x轴 y轴 z轴的正方向建立一个空间直角坐标系O xyz x y z O P x y z e1 e2 e3 在空间直角坐标系O xyz中对空间任一向量平移使其起点与原点o重合得到向量由空间向量基本定理可知存在有序实数组使显然向量的坐标就是点P在此空间直角坐标系中的坐标 x y z x

3、 y z O P x y z 也就是说以O为起点的有向线段向量的坐标可以和终点的坐标建立起一一对应的关系从而互相转化 e1 e2 e3 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标思考设A x1 y1 z1 B x2 y2 z2 练习1如图在边长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中取D点为原点建立空间直角坐标系 O M P Q分别是AC DD1 CC1 A1B1的中点写出下列向量的坐标例题讲解 17 练习3 1 已知a b c是不共面的三个向量则能构成一个基底的一组向量是 A 2a a b a 2bB 2b b a b 2aC a 2b b cD c a c a c 答案 C 答案 C 答案 1 1 1 1 0 1 以下四个命题中正确的是 A 空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示B 若 a b c 为空间的一个基底则a b c全不是零向量C 若向量a b 则a b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底D 任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底根据空间基底的定义逐个选项判断解题过程答案 B 1 如果向量a b与任何向量都不能构成空间的一个基底则 A a与b共线B a与b同向C a与b反向D a与b共面解析由空间向量基本定理可知只有不共线的两向量才可以做基底 B C都是A的一种情况空间中任两个向量都是共面的故D错答案 A 2 设x a b y b c z c a 且 a b c 是空间的一个基底给出下列向量组 a b x a b y x y z a x y x y a b c 其中可以作为空间基底的向量组有 A 1个B 2个C 3个D 4个答案 C 由题目可获取以下主要信息 a b c 是一个基底空间四边形OABC中 G H分别是 ABC OBC的重心解答本题可利用重心的性质再结合图形进而求得结果

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