黑龙江省海林市朝鲜族中学高中数学必修二：2.2.3、2.2.4 直线与平面平行、平面与平面平行的性质2 课件

1、第3课时直线与平面平行的性质 平面与平面平行的性质 目标要求1 理解并掌握直线与平面平行的性质 2 理解并掌握两个平面平行的性质 3 能综合运用直线与平面 平面与平面平行的判定定理与性质定理解决相关问题 热点提示学习本节内容时 应联想具体模型 归纳 提炼 理解并掌握性质定理 通过典例的学习 掌握运用性质定理解决相关问题的基本方法 重点解决 1 直线与平面 平面与平面平行性质定理的理解与应用 2 平行问题的相互转化问题 伽利略漫长的一生中发生过许多被后世纪念和记载的有名事件 也许最流行的故事是据说他于1591年在比萨斜塔顶上进行的一项实验 两个铁球同时着地 这座斜塔座落在比萨城里 这不同寻常的建筑物建造于1174年 从它造好的初期开始倾斜直到现在已倾斜了17英尺左右了 到16世纪 这座比萨斜塔成了有历史意义的建筑物 引起了来自意大利各地观光者的注意 塔虽然是倾斜的 但我们知道在斜塔上有许多的柱子是平行的 柱子与塔壁是平行的 每一层塔的地面也是平行的 塔虽然是倾斜的 为什么还有这么多的平行关系存在呢 1 直线和平面平行的性质定理 1 文字语言 如果一条直线和已知平面平行 经过这条直线的平面

2、和这个平面相交 那么这条直线和交线平行 简称为 若线面平行 则线线平行 2 符号语言 若 则l m l l m 3 直线和平面平行的性质定理中有三个条件 这三个条件缺一不可 直线l和平面 平行 平面 和平面 相交于直线m 直线l在平面 内 2 平行平面的性质定理 1 文字语言 那么它们的交线平行 简记为 若面面平行 则线线平行 2 符号语言 若 则a b 3 若两个平面平行 则其中一个平面内的 简记为 若面面平行 则线面平行 用符号表示是 若 则 如果两个平行平面同时与第三个平面相交 a b 任一直线必平行于另一个平面 a a 4 若两个平面平行 则夹在两个平行平面间的 平行线段长相等 1 如果l 平面 则l平行于 内 A 全部直线B 唯一确定的直线C 任一直线D 过l的平面与 的交线解析 由线面平行的性质定理可知 答案 D 2 给出以下四个命题 其中a b是两条直线 是平面 若a b 则a b 若a b a 则b 若a 则a平行于 内的所有直线 若a平行于 内无数条直线 则a 其中正确命题的个数是 A 0B 1C 2D 3 解析 错 a与b也可能相交或异面 错 也可能b 错 由线面平

3、行的性质定理知其错误 错 有可能a 答案 A 3 下面四个命题中 平面外的直线就是平面的平行线 平行于同一平面的两条直线平行 过平面外一点可作无数条直线和这个平面平行 ABC中 AB 平面 延长CA CB 分别交 于E F 则AB EF 正确的命题的序号是 解析 错 平面外的直线还包括与平面相交的直线 错 也可能相交或异面 对 可作一个平行平面 使平面内经过该点的所有直线都和这个平面平行 对 由线面平行的性质定理可判断 答案 4 如图所示 在三棱柱ABC A1B1C1中 过A1 B C1的平面与平面ABC的交线为l 试判断l与直线A1C1的位置关系 并给以证明 解 l A1C1 证明 在三棱柱ABC A1B1C1中 A1C1 AC A1C1 平面ABC AC 平面ABC A1C1 平面ABC 又 A1C1 平面A1BC1 且平面A1BC1 平面ABC l A1C1 l 类型一线面平行的性质及应用 例1 如图所示 过正方体ABCD A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1 求证 BB1 EE1 思路分析 由题目可获取以下主要信息 EE1是两平面的交线 BB1 平面BB

4、1E1E 且要证明BB1 EE1 解答本题可利用线面平行的性质定理 证明 BB1 CC1 BB1 平面CDD1C1 CC1 平面CDD1C1 BB1 平面CDD1C1 又BB1 平面BEE1B1 且平面BEE1B1 平面CDD1C1 EE1 BB1 EE1 温馨提示 利用线面平行的性质定理解题的步骤 确定 或寻找 一条直线平行一个平面 确定 或寻找 过这条直线的且与这个平行平面相交的平面 确定交线 由定理得出结论 如下图 三棱锥A BCD被一平面所截 截面为平行四边形EFGH 求证 CD 平面EFGH 证明 四边形EFGH为平行四边形 EF GH 又GH 平面BCD EF 平面BCD 而平面ACD 平面BCD CD EF 平面ACD EF CD 又EF 平面EFGH CD 平面EFGH CD 平面EFGH 例2 已知 四边形ABCD是平行四边形 点P是平面ABCD外一点 M是PC的中点 在DM上取一点G 过G和AP作平面交平面BDM于GH 求证 AP GH 思路分析 通过三角形中位线的线线平行关系转化为线面平行 然后再由线面平行转化为所要证明的线线平行 证明 如图所示 连结AC交BD于

5、O 连结MO 四边形ABCD是平行四边形 O是AC中点 又M是PC的中点 AP OM PA 平面BMD 平面PAHG 平面BMD GH PA GH 温馨提示 本题是线面平行判定定理和线面平行性质定理的综合运用 更体现了线面平行与线线平行的相互转化 一条直线若同时平行于两个相交平面 则这条直线与这两个平面交线的位置关系是 A 异面B 相交C 平行D 无法确定 解析 首先将文字叙述的条件及结论转化成数学符号 利用两个辅助平面得到与交线平行的直线 通过传递得到结论 如右图 l l a 过l作平面 交 于b 过l作平面 交 于c l l b l b 同理 l c b c c b b 又b a b a l a 答案 C 类型二面面平行的性质及应用 例3 如图 已知 点P是平面 外的一点 不在 与 之间 直线PB PD分别与 相交于点A B和C D 1 求证 AC BD 2 已知PA 4cm AB 5cm PC 3cm 求PD的长 3 若点P在 与 之间 试在 2 的条件下求CD的长 思路分析 由题目可获取以下主要信息 平面 与 平行 平面PBD分别与平面 平面 交于AC BD 解答 1 可直接利

6、用面面平行的性质 2 要借助 1 的结论 利用平行线分线段成比例定理求PD 解 1 证明 PB PD P 直线PB和PD确定一个平面 则 AC BD 又 AC BD 温馨提示 证明线线平行的方法 1 定义法 在同一个平面内没有公共点的两条直线平行 2 平行公理 平行于同一条直线的两条直线平行 如下图 直线AC DF被三个平行平面 所截 解 1 平面 平面 平面 与 没有公共点 但不一定总有AD BE 同理不总有BE CF 不一定有AD BE CF 2 过A点作DF的平行线AH 分别交 于G H两点 过平行线AH DF的平面分别交平面 于AD GE HF 根据两平面平行的性质定理 有AD GE HF 例4 如图所示 正方体ABCD A B C D 中 点E在AB 上 点F在BD上 且B E BF 求证 EF 平面BB C C 证法一 连结AF延长交BC于M 连结B M AD BC EH 平面BB C C 又EH FH H 平面FHE 平面BB C C EF 平面FHE EF 平面BB C C 温馨提示 证明线面平行的方法主要有三种 1 应用线面平行的定义 2 应用线面平行的判定定理 3

7、应用平面与平面平行的性质 应用平面与平面平行的性质证题的关键是找到过直线和已知平面平行的平面并给予证明 这时注意线线平行 线面平行和面面平行之间的相互转化 本题证法一使用线面平行的判定定理 证法二利用面面平行的性质定理 关键就是找到过直线EF与平面BB C C平行的平面 如下图 已知四边形ABCD在平面 内的射影是一个平行四边形A1B1C1D1 求证 四边形ABCD是平行四边形 1 直线和平面平行的判定定理和直线和平面平行的性质定理经常交替使用 即通过线线平行推出线面平行 再通过线面平行推出线线平行 综合性强的题目则会不断循环推下去 可用程序框图表示如下 2 两个平面平行 其中一个平面内的直线必平行于另一个平面 但这两个平面内的所有直线并不一定相互平行 它们可能是平行直线 也可能是异面直线 但不可能是相交直线 3 通过前面的学习不难概括出线线 线面 面面平行的相互转化关系 由上面的关系易知三者之间可以进行任意转化 即通过直线和平面平行可以推出两个平面平行 同样经过两个平面平行的定义和性质也可以推出直线和直线平行 直线和平面平行 直线与平面 平面与平面这种相互转化关系体现出了知识间的相互

8、依赖关系 解决相关问题时要自觉运用 运动变化及类比的思想方法1 运动变化的思想方法是数学中重要的思想方法 运用它易于揭示概念的本质 便于认识事物的性质 发现规律 立体几何中 不少的知识和问题蕴含着这一思想方法 如圆柱 圆锥 圆台 球面和旋转面的含义 二面角可看作是一个半平面以一条棱为轴旋转而成的 圆柱 或圆锥 亦可看作是当圆台上底面半径和下底面半径相等 或上底面缩小到其半径等于零 时转化而成的 学习线面平行的性质时 在定义的条件下 让该直线和平面运动起来 在运动中保持不变的性质就是线面平行的性质 研究平面图形折叠问题时 需要从运动变化的角度出发 弄清图形中涉及的元素在折叠前后数量及位置关系的变化等 实践证明 有意识而及时地对这一思想方法的提示与渗透 可以对知识的理解更深刻 运用更得心应手 思维能力得到发展 2 所谓类比的思想方法 就是将生疏的问题和熟知的问题进行比较 对生疏的问题作出猜想 并由此寻求问题的解决途径或结论 它是中学数学中重要的思想方法之一 立体几何中 类比的思想方法被广泛采用 由平面直线a b b c 则a c 可类比出空间的平面 则 与平行四边形类比可得到平行六面体的不少类似的性质 四面体与三角形有较多的类比性质 掌握和善于运用类比的思想方法 可起到巩固旧知识 加速对新知识的理解和记忆的作用 当然 类比仅是一种猜测 其正确性尚需论证 将空间问题和数量关系 位置结构相似的平面问题进行类比 可以开拓思路 诱发灵感 增强数学发现能力 同时还可以沟通知识间的联系 建立良好的认知结构

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