精编制作概率论与数理统计几种重要的分布PPT课件

1、第四章几种重要的分布 4 1二项分布 4 2超几何分布 4 3泊松分布 4 4指数分布 4 6正态分布 一 两点分布 2 数字特征 1 定义 4 1二项分布 二 二项分布 1 定义 2 数字特征 例2 某工厂每天用水量保持正常的概率为3 4 求最近6天内用水量正常的天数的分布 解 设最近六天内用水量保持正常的天数为X 它服从二项分布 n 6 p 0 75 利用二项分布公式计算 解 X服从二项分布 n 10 p 0 2 利用二项分布公式计算 例3 10部机器各自独立工作 因修理调整等原因 每部机器停车的概率为0 2 求同时停车数目X的分布 例4 一批产品的废品率为0 03 进行20次重复抽样 有放回 求出现废品的频率为0 1的概率 解 X表示20次中抽到废品的次数 服从二项分布 n 20 p 0 03 利用二项分布公式计算 3 二项分布的最可能值 例5 某批产品有80 的一等品 对它们进行重复抽样检验 共取出4个样品 求其中一等品数X的最可能值k 并用贝努利公式验证 解 一等品数X服从二项分布 np p 3 2 0 8 4 所以k 3 4时P X k 最大 n很大时 频率为概率的可能最大

2、 证明 例6 某人射击的命中率为0 8 今连续射击30次 计算命中率为60 的概率 例9 计算机在进行加法运算时 每个加数按四舍五入取整数 假定每个加数的取整误差服从 0 5 0 5 上的均匀分布 今有五个加数相加 计算它们中至少有三个加数的取整误差绝对值概率不超过0 3的概率 例1 某班有学生20名 其中5名女同学 今从班上任选4名学生去参观展览 被选到的女学生数X是一个随机变量 求X的分布 例2 某班有学生20名 其中3名女同学 今从班上任选4名学生去参观展览 被选到的女学生数X是一个随机变量 求X的分布 4 2超几何分布 1 定义 2 数字特征 3 超几何分布与二项分布的关系 证明 例3 一大批种子的发芽率为90 从中任取10粒 求 1 播种后恰好有8粒发芽的概率 2 播种后不少于8粒发芽的概率 解设X为10粒种子中发芽的种子数目 服从超几何分布 但是N很大 n 10项对于N很小 可以认为X近似服从二项分布B 10 0 9 几何分布 1 定义 在无穷次贝努利试验中 事件A首次发生时所需要的试验次数X的分布 2 数字特征 3 无记忆性 证明 例1 离散随机等待时间 每张彩票中奖概率

3、0 01 某人每次只买一张 1 他买到第k张才中奖的概率 2 买了8张都没有中奖的概率 解 买到第一张中奖彩票需要的次数X G 0 01 1 定义 2 数字特征 4 3Poisson 泊松 分布 3 泊松分布与二项分布的关系 定理说明 对于成功率为p的n重贝努利试验 只要n充分大 而p充分小 则其成功的次数X近似服从参数的泊松分布 例1 X服从poisson分布 EX 5 查表求P X 2 P X 5 P X 20 一般当n 20 p 0 05时可以近似计算 例2 检查了100个零件上的疵点数 结果如表 用poisson分布公式计算疵点数的分布 并与实际检查结果比较 解 14 0 27 1 26 2 20 3 7 4 3 5 3 6 100 2 例3 一袋重量为500克的种子约10000粒 假设该袋种子的发芽率为98 5 从中任取100粒进行试验 计算恰好有1粒没有发芽的概率 解1 设100粒中未发芽的种子有X粒 服从超几何分布 N 10000 N1 9850 n 100 由于N很大 n 100相对于N很小 X可用二项分布近似计算 解2 n 100 p 0 015很小 X可用poiss

4、on分布近似计算 例4 设城市每年因交通事故死亡的人数服从泊松分布 据统计在一年中因交通事故死亡一人的概率是死亡两人概率的1 2 计算一年中因交通事故至少死亡3人的概率 解 设随机变量X表示一年内因交通事故死亡的人数 要求泊松分布的参数 由题意 4 Poisson分布的最可能值 超几何分布 超几何分布 二项分布 泊松分布的关系 只有两个互逆结果的n次独立重复试验 n 1 p 二项分布的逼近式 无穷次伯努利试验中A首次发生的试验次数 对含有两类元素的有限总体进行不放回抽样时某类元素个数的概率分布 在一定时间内出现在给定区域的随机质点的个数 一 均匀分布 定义若连续型随机变量X的概率密度为 1 定义 可描述在某区间上具有等可能结果的随机试验 4 4指数分布 2 分布函数 3 数字特征 二 指数分布 1 定义 定义若连续型随机变量X的概率密度为 其中 0为常数 则称X服从参数为 的指数分布 记为X e 可描述两次事件发生的时间间隔 2 分布函数 3 数字特征 例1 某元件寿命X服从参数为 1 1000的指数分布 三个这样的元件使用1000小时后 都没有损坏的概率 各元件寿命相互独立 因此3个

5、这样的元件使用1000小时都未损坏的概率为 4 无记忆性 若X e 则 证明 命题 故又把指数分布称为 永远年轻 的分布 解 X e 0 05 1 P 10 X 20 例2 从某项寿命试验的数据中知 寿命X服从参数为0 05的指数分布 1 求P 1080 X 50 事件 X 80 X 50 P X 80 X 50 即有 0 05x ln0 1 2 P X x 0 1 2 如果要使概率P X x 0 1 则x取值应在什么范围内 1 定义 定义若连续型随机变量X的概率密度为 则称X服从参数为 和 的正态分布 其中 0为常数 记为X N 2 4 6正态分布 正态分布是概率论中最重要的分布 自然界大量的随机现象近似服从正态 如 测量误差 生物特征数据 农作物的产量 工业产品的质量指标 气象数据等等 一般的 如果某个数量指标受到大量的随机因素的影响 每一个因素所起的作用又很小 则这个数量指标就近似服从正态分布 概率论中的很多重要分布都与正态分布有关 1 密度函数关于x 对称 2 图形在x轴上方且密度函数在x 处达到最大值 两头小 中间大大多数现象的正常状态 即极端的总是少数 正态分布密度函数的重

6、要性质 3 密度函数在x 处有拐点 4 x轴是密度函数的水平渐近线 5 是位置参数 是形状参数 如果固定 而改变 密度函数位置改变 沿ox轴平移 但是形状不变 反之 如果固定 而改变 密度函数的位置不改变 但形状将随 的增加而变平坦 随 的减小而变陡峭 说明固定 时 对于同样长度的区间 当参数 越大时 X落在这个区间里的概率将越小 而当参数 越小时 X落在这个区间里的概率将越大 2 数字特征 2 3 分布函数 4 标准正态分布 5 一般正态分布与标准正态分布的关系 证明 定理 标准正态分布的重要性在于 任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布 只需查标准正态分布的分布表 就可以解决正态分布的概率计算问题 例4 设X N 1 4 求P 0 X 1 6 解 解一 解二图解法 0 2 由图知 例6 3 原理 解 一次试验中 X落入区间 3 3 的概率为0 9974 而超出此区间可能性很小 由3 原理知 例7 设测量的误差X N 7 5 100 单位 米 问要进行多少次独立测量 才能使至少有一次误差的绝对值不超过10米的概率大于0 9 解 设A表示进行n次独立测量至少有一次误差的绝对值不超过10米 故至少要进行4次独立测量才能满足要求 1 定义 2 数字特征 3 特殊情形 证明 二元正态分布 两个重要的连续型随机变量的分布 描述在某区间上具有等可能结果的随机试验 描述影响某一数量指标的随机因素很多 每一因素独立 但每个因素所起作用不大的随机试验 描述电子产品或动物寿命的分布 各种随机服务系统的服务时间 等待时间等 X在区间 a b 上取值 且取值在 a b 中任意小区间内的概率仅与小区间的长度成正比 随机变量X分布函数 离散型连续型 分布列 密度函数 复习 其图形是右连续的阶梯曲线 其图形是连续曲线 f x 常见的分布 离散型连续型 两点分布 二项分布 泊松分布超几何分布 几何分布 特征 非负规范 至此 我们已介绍了两类重要的随机变量 全部可能的取值取值的概率分布 是判定一个函数是否为某随机变量X的分布列或密度的充要条件 F X P X x 均匀分布 指数分布 正态分布 分布 B n p 0 1 U a b e ppqnpnpq P 2 N 2 体现了随机变量数字特征的重要性 常用随机变量的期望与方差 可以互相确定 均和参数关联

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