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精编制作定积分概念、性质PPT课件

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卖家[上传人]：ahu****ng1

文档编号：127017556

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19 金贝

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常见问题

1、定积分的概念微积分基本公式 17世纪从实际需要中人们提出许多问题归结起来有两类速度问题切线问题导数研究了事物变化的速度定积分则研究相反的问题事物变化的累积和如面积路程电量多少变量作功等等本章将重点学习定积分的概念几何意义及微积分基本定理前言 4 1定积分概念一定积分的引入曲边梯形面积的求法注此面积一定是以x轴为一边的曲边梯形例如求曲线y x2 直线x 0 x 1和y 0所围成的面积如图所示此问题的难点是图形有一边是曲的如何求它的面积呢研究此问题的基础是已知矩形的面积公式S 长宽 a b 那么研究方法是无限细分以直代曲将曲边图形分划为若干个小矩形用小矩形面积 Si矩近似代替小曲边梯形面积 Si曲即如果右边的和式有极限 n 则极限值即为整个曲边梯形的面积即如图所示 1 将区间 0 1 n等分其分点分别为 2 得n个小条形每个小条形的宽均为高则分别取区间右端点xi i 1 2 n 的函数值 3 相乘为第i个小矩形面积 x y 0 x2 x3 xn 1 xn 1 y x2 x0 x1 4 第i个小曲边梯形面积近似

2、5 曲边梯形面积S曲近似若取n 10 容易发现n越大即区间分得越细则此面积误差越小 6 直到用极限方法令n 得曲边梯形的精确值总结求曲边梯形面积的步骤引例1 曲边梯形的面积演示其中设物体的运动速度引例2 变速直线运动的路程分割区间取近似值作和取极限 1 细分区间 2 取近似值 3 作和 4 取极限曲边梯形面积A 变速运动的路程S 记为记为二定积分的概念演示定积分定义如果当最大的子区间的长度时此和式有极限则此极限叫作f x 在 a b 上的定积分记为即在定积分中其中为积分号把字母s拉长 a b为积分下限和上限即积分变量x的范围 a x b 又叫积分区间 f x 为被积函数 f x dx称为被积表达式上例曲边图形的面积用定积分表示注意据定义有如下说明 1 定积分是特殊和式极限它是一个定数 2 定积分的大小仅与区间 a b 和被积函数f x 有关 3 规定 1 若函数在上连续 2 若函数在上有界且只有有限个间断点三定积分存在的充分条件则在上可积则在上可积有界是函数在区间 a b 上可积的必要条件表示曲线与x轴围

3、成的图形面积的代数和表示曲线与x轴围成的图形面积四定积分的几何意义演示 1 2 2 若是奇函数则 1 若是偶函数则五定积分的几何性质由定积分几何意义可得补充规定定积分几何意义的应用解因为在上连续所以存在例用定义求定积分规定六定积分的基本性质无论a b c的相对位置如何 3 式均成立可推广至有限个函数的代数和的情形定积分的基本性质性质6 介值定理设f x 在 a b 上可取得最大值M和最小值m 于是由性质5有几何意义也很明显再根据闭区间上的联系函数的介值定理可得如果变速直线运动物体的运动方程是S S t 则在时间段 T1 T2 内所发生的位移变化为S T2 S T1 如果物体的运动方程为V V t 则由定积分可知微积分基本公式而微积分基本公式一变上限的积分定理证明思路参见书例1 例2 解用分点0插分区间 x 2x 例3 例4 设在区间上连续是它的任意一个原函数微积分基本公式二牛顿莱布尼兹公式证明思路例2求下列定积分解因为在上连续是它的一个原函数所以或解原式几何意义解原式几何意义解原式解原式合理应用对称区间上奇偶函数的积分性质简化定积分的计算解分段函数的积分计算应分区间选取相应的函数函数在x 1处间断 exit 引例曲边梯形的面积 exit 定积分的定义 exit 定积分的几何意义 exit 估值定理 exit 积分中值定理牛顿莱布尼兹公式返回若是奇函数则若是偶函数则定积分的几何意义是偶函数是奇函数偶函数奇函数广义积分定义假设对在 a b 有定义且可积 1 对于 a 上的无穷积分如果存在我们称收敛且定义否则称发散 2 对于 b 的无穷积分如果存在我们称收敛且定义否则称发散广义积分广义积分例1求解首先我们考察求广义积分例2讨论广义积分的敛散性例3求广义积分

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