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人教版A版高中数学选修2-2第二章2.2.2 反证法【教案】

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常见问题

1、2.2.2 反证法一、知识与技能1了解命题、逆命题、否命题与逆否命题的概念；2能正确判断命题的真假，掌握四种命题的关系，能求一般命题的逆命题、否命题、逆否命题合理进行思维的方法。3会用反证法证明简单的数学问题来源:学科网ZXXK二、过程与方法1从实例出发，抽象出命题、逆命题、否命题与逆否命题的概念；2由具体事例入手，让学生发现命题、逆命题、否命题与逆否命题的关系；3由互为逆否命题的真假一致引导学生学会准确地判断命题的真假。来源:学科网三、情感态度与价值观初步形成运用逻辑知识准确地表述问题的数学意识。四、新课学习1反证法的逻辑依据【师生互动】【例7】证明：若，且，则。分析：对于该命题的证明，从正面着手：又，且，即直接证明也可以。但总给人一种说理不是那么很得劲，美中不足的感觉。如果采用了证明方法：假设不全为0，不妨设，则这与已知的矛盾，故。就会给人一种无可辩驳，不得不服的感觉。【师】对于后一种证明方法，大家能把它以“若则”的形式表述出来再看看合原来要证明的命题是什么关系吗？【生】后面要证明的命题写成“若则”的形式是：“若不全为0，则”原命题写成“若则”的形式是：“若，则”。它们两者之

2、间互为逆否命题，真假一致。【师】像这样的证明方法我们把它叫做反证法。2反证法的概念通过否定命题的结论而导出矛盾（可以是与原命题条件矛盾，也可以是与定义、定理、性质矛盾）来达到肯定命题的结论的一种数学证明方法.关于反证法，实际上我们在初中学习平行线时，就早已遇到过了.我们知道，在同一个平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行两种.我们学过了平行公理：“经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”.下面我们用反证法来证明它的一个推论：“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”.已知：如图，求证：.证明：假设不平行于，即，则，于是经过点就将有两条直线和都与平行，根据平行公理，这是不可能的.与不能相交，只能平行.3反证法的主要步骤仔细分析上述问题不难看出，运用反证法时，其主要步骤可以概括为：否定推理否定肯定，四个步骤，即否定结论假设命题的结论不对，即肯定结论的反面成立；推出矛盾由结论的反面（称为“暂时假设”）出发，通过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾；否定假设由正确推理导出了矛盾，说明“暂时假设”不对；肯定结论由于否定结论是不对的，于是肯定结论成立.在上述四步中，关键是第二步，即“由暂时假设推出矛盾”，怎样导出矛盾？通常有以下几种情况：推出与定义、公理、定理相矛盾的结论；来源:学科网推出与已知条件相矛盾的结论；推出与“暂时假设”相矛盾的结论；在证明过程中，推出自相矛盾的结论.【例8】用反证法证明：如果，那么.证明：假设不大于，则或者，或者.，当与与；=.这些都同已知条件矛盾， .五、课堂小结：本节主要学习了反证法的基本原理及其四个步骤.它的四个步骤实则是两大阶段，前三步是第一阶段，它是以矛盾律为依据，采用了一种特殊方法先假设论题的反面为真，然后进行推理，推出一个与已知的事实相矛盾的结果，从而说明的反面是谬误的；于是进入第二阶段，它是根据排中律说明，既然的反面是谬误的，那么论题就一定是正确的，至此，论题得证. 六、作业布置：课本第8页习题1.1组第4题，组第1题

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