更高更妙的物理-竞赛课件8：功与能

1、 利用图象求功之方法适用于当力对位移的关系为线性时 ;或在表示力对位移关系的 F-s示功图中 F(s)图线与 s轴围成的图形“面积”有公式可依时 ;因为在 F-s示功图中，这种“面积”的物理意义就是功的大小 方法 A s F 0 x W 锤子打木桩，锤每次从同一高度落下，每次均有 80%的能量传给木桩，且木桩所受阻力 f与插入深度 x成正比，试求木桩每次打入的深度比若第一次打击使木桩插入了全长的 1/3，全部插入须锤击多少次？ 专题 8-例 1 本题中的阻力 f为一与位移 x成正比的变力，即 f=kx 示功图 x F 0 x1 x2 x3 l W0 W0 W0 图中各阴影 “ 面积 ” 表示第 1、 2、3 次锤击中，木桩克服阻力作的功，数值上等于锤传给木桩的能量，设为 W0 由图 2 2 2 21 2 3 0 0 0 023nx x x x W W W n W: : : : : : :1 2 3 1 2 3nx x x x n: : : 1 2 3 1 2 3 2 1n nx x x nx : -: : :1当 xn=l时，由 1 1nxx n: :13ll n 9n 次 某质点受到

2、 F=6x2的力的作用，从 x=0处移到 x=2.0 m处，试求力 F做了多少功？ 专题 8-例 2 本题中的变力 F与位移 x成 F=6x2关系， F-x图线为抛物线 示功图 24 x/m F/N 0 2 W 图中 “面积” 表示 F力作的功 “面积” 由阿基米德公式 23S 弓 底 高由示功图得 F力作的功 12W S S矩 弓122 2 4 4 2 4 J23 16 J 如图所示 ， 一质量为 m， 长为 l的柔软绳索 ， 一部分平直地放在桌面上 ， 另一部分跨过桌面边缘的光滑定滑轮下垂 ， 柔绳与桌面间的摩擦因数为 柔绳能由静止开始下滑 ， 求下垂部分长度至少多长 ？ 由这一位置开始运动 ，柔绳刚离开桌面时的速度多大 ？ 设柔绳恰由静止开始下滑时下垂部分长度为 x0，则由 00mmx g l x gll 0 min 1 lx 柔绳恰由静止开始下滑至以 v离开桌面，由动能定理 212GfW W m v其中，重力功等于绳重力势能减少 0022Gxm l mW lg x gll 22 02m g l xl摩擦力为线性变力： fmF x gl示功图 x Ff 0 l-x0 0m l x

3、 gl Wf x 202f mg lxlW 22 20 02 g l x g l xvll 1v gl 一质点的质量为 m， 被固定中心排斥 ， 斥力的大小F=mr， 其中 r为质点离开此中心的距离 在开始时 ， r0=a， v0=0，求质点经过位移 a时所达到的速度大小 斥力为线性变化力！ ma示功图 r F 0 a 2a 2 maWF 对示功图求梯形阴影“面积” 2321 22W m a a ma a 对质点经过位移 a的过程，由动能定理 223122m a m v 3v a 跳水运动员从高于水面 H 10 m的跳台自由落下 ， 运动员的质量 m 60 kg， 其体形可等效为长度 l 1.0 m、 直径 d 0.30 m的圆柱体 ， 略去空气阻力 ， 运动员入水后水的等效阻力 F作用于圆柱体下端面 ， F量值随入水深度 y变化如图 ， 该曲线近似为椭圆的一部分 ， 长轴和短轴分别与 OY和 OF重合 ， 为了确保运动员绝对安全 ， 试计算水池中水的 h至少应等于多少 ？ 5mg/2 Y F 0 h 对全过程运用动能定理 : 00m g H h W W 浮 阻其中阻力功根据示功图为四

4、分之一个椭圆“面积” : 示功图 W阻1542mgWh 阻入水过程中，浮力随入水深度 y作线性变化 24dF g y浮示功图 Y F浮 0 l 24g ld2124g l dWl 浮242dlW g l h l 浮 2 151 0 04 2 8dm h l h m h 1 6 0 3 m1 6 1h 4 . 9 m 如果在某一位移区间，力随位移变化的关系为 F=f(s) ，求该变力的功通常用微元法，即将位移区间分成 n（ n ）个小区间 s/n，在每个小区间内将力视为恒定，求其元功 Fi s/n ，由于功是标量，具有“可加性”，那么总功等于每个小区间内元功之代数和的极限，即变力在这段位移中所做的功为： 方法 B 1limnin iWW 在数学上，确定元功相当于给出数列通项式，求总功即求数列 n项和当 n 时的极限 半径等于 r的半球形水池，其中充满了水，把池内的水完全吸尽，至少要做多少功？ 专题 8-例 3 r ri 沿着容器的竖直直径，我们将水池内的水均匀细分成 n层，每一元层水的高度 rhn r 1 i 2 每一层水均可看作一个薄圆柱，水面下第 i层水柱底面的半径 这层水的质量 2

5、2irr r in 22irrm r inn 将这层水吸出至少应做的元功是 22ir r rW r i g in n n 将池水吸尽至少要做的功是 34241limniniiiW W g rnn 4 3 3 3 32411li m 1 2 3 1 2 3ng r n nnn 224241111lim24nn n n ngrnn 41 g4r 一个质量为 m的机动小车，以恒定速度 v在半径为R的竖直圆轨道绕“死圈”运动已知动摩擦因数为 ，问在小车从最低点运动到最高点过程中，摩擦力做了多少功？ 专题 8-例 4 小车沿竖直圆内轨匀速率运动到最高点的过程中，由于轨道支持力是变力，故而摩擦力为一随位置变化的力！ x y O A B 当小车运动在 A处元圆弧段时 nmg NA A2s inAA vN m g mRAAfN2s in AvmgR 摩擦力在 A处元功为 2s inAAvRW m gRn 当小车运动在与 A关于 x轴对称的 B处元圆弧段时BAmg NB B2s inBB vN m g mRn续解 i i n BBfN2s in BvmgR 摩擦力在 B处元功为 2s inBBvRW m

6、 gRn 小车在关于水平直径对称的轨道两元段上摩擦力元功之和为 22i A B vRW W W m Rn 查阅 摩擦力在半圆周轨道上的总功 /2211lim 2nn iW m vn 2mv计算水平直径以下段摩擦力的功： 2/21lim s innn ivRW m g iR n n 下续解 2/ 2 / 211lim s innnniiv R Rm m g iR n n n 2/ 2 / 211li m s innnniiv R RW m m g iR n n n 下2 /21lim s2innn im g R innn m vn 2li m s in s in 2 s in22 nn m v nm g Rn n n nn sin1sin sin22sin2nna n nnnS三 角 列 前 和数 项22sin sin44limsin22 nnnnnm gRnnnmvn222 si n si n44limsi n222 nnn m vnnnnm gRnn 22Wmvm g R 下水平直径以上段摩擦力的功： 22Wmvm g R 上将板沿板长均分为 n（ n ） 等份 fiMFgn将木板在

7、水平地面上绕其一端转动角 ， 求所需要做的功 木板长度为 L， 质量为 M， 木板与地面之间的动摩擦因数为 Lin元摩擦力做功的位移为 1 2 ii Lxin摩擦力对 i段做的元功为 iMg innWL 则对木板的功 1limnn iMLW g inn 211limnn iM g L in 211lim2nnnM g Ln 12M g L各元段摩擦力为 ix 从一个容器里向外抽空气 ， 直到压强为 p 容器上有一小孔 ， 用塞子塞着 现把塞子拔掉 ， 问空气最初以多大速率冲进容器 ？ 设外界大气压强为 p0， 大气密度为 p p0 x s 设小孔截面积为 s，打开塞子后孔外侧厚度为 x的一薄层空气在内、外压强差作用下冲入容器，获得速度 v0， 由动能定理 : 20 12P P S x S x v 002 pvp 这种求功方法依据功对能量变化的量度关系，只须了解初、未能量状态，得到能量的增量便是相应的功量 方法 C WE 如图所示 ,一质量分布均匀的粗绳长 2a，质量为 2m，两端悬于水平天花板上相距为 a的两点而悬垂静止，其重心位于天花板下方 b处 .现施一力于绳之最低点 C并将绳拉直至 D点，求拉力所做的功 D 3co s 3 024aha 322 4pE m g b h m g b a 由几何关系拉直后两段绳的重心位置距天花 重力势能增加了 由功能原理，拉力功为 324pW m g b aE专题 8-例 5 由于拉力做功，使绳之重心高度变化因而重力势能变化，重力势能的增量即为所求拉力功量 C h h 一质量为 m的皮球，从高为 h处自由下落（不计空气阻力），反弹起来的高度为原来的 3/4，要皮球反弹回 h高处，求每次拍球需对球做的功 专题 8-例 6 在球与地面接触期间，地面对球的弹力对球做负功，使球的动能减少地面对球的弹力功是变力功 ! 牛顿碰撞定律： 若两球碰撞前速度依次为 v10、 v20，碰撞后速度为 v1、 v2，则碰撞后两者的分离速度

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