苏北四市2019~2020高三数学一模试卷含答案

1、绝密 启用前 江苏省苏北四市 2019 2020 学年度第一学期期末考试试卷 高 三 数 学 2020 01 参考公式 1 样本数据 x1 x2 xn的 差 s2 1 n n i 1 xi x 2 其中 x 1 n n i 1 xi 2 直棱柱的侧面积 S ch 其中 c 为底面周长 h 为 3 棱柱的体积 V Sh 其中 S 为底面积 h 为 一 填空题 本 题共 14 小题 每小题 5 分 共计 70 分 1 已知集合 A x 0 x 2 B x 1 x 1 则 A B 2 已知复数 z 满足 z2 4 且 z 的虚部小于 0 则 z 3 若一组数据 7 x 6 8 8 的平均数为 7 则该组数据的方差是 4 执行如图所示的伪代码 则输出的结果为 S 1 I 1 While I 6 I I 1 S S I End While Print S 第4题图 A BCDE 第13题图 5 函数 f x log 2x 2 的定义域为 6 某学校高三年级有 A B 两个自习教室 甲 乙 丙 3 名学生各自随机选择其中 一个教室自习 则甲 乙两人不在同一教室上自习的概率为 7 若关于x的不等式x

2、2 mx 3 b 0 的右顶点为 A 过点 A 作直线 l 与圆 O x2 y2 b2相切 与椭圆C 交于另一点 P 与右准线交 于点 Q 设直线 l 的斜率为 k O x y A P Q 1 用 k 表示椭圆 C 的离心率 2 若 OP OQ 0 求椭圆C 的离心率 2020 届 考研究系列试卷第 1 页 共 2 页 19 本小题满分 14 分 已知函数 f x a 1 x lnx a R 1 若曲线 y f x 在点 1 f 1 处的切线方程为 x y 1 0 求实数 a 的值 2 若 f x 的导函数 f x 存在两个不相等的零点 求实数 a 的取值范围 3 当 a 2 时 是否存在整数 使得关于 x 的不等式 f x 恒成立 若存 在 求出 的最大值 若不存在 说明理由 20 本小题满分 14 分 已知数列 an 的首项 a1 3 对任意的 n N 都有 an 1 kan 1 k 0 数 列 an 1 是公比不为 1 的等比数列 1 求实数 k 的值 2 设 bn 4 n n为奇数 an 1 n为偶数 数列 bn 的前 n 项和为 Sn 求所有正整数 m 的值 使得 S2m S

3、2m 1 恰好为数列 bn 中的项 Page 2 数学试卷答案 第 1 页 共 2 页 四市四市 2019 2020 学年度高三第一次调研测试学年度高三第一次调研测试 数学数学 I 参考答案与评分标准参考答案与评分标准 一 填空题 1 12 xx 2 2i 3 4 5 4 20 5 4 6 1 2 7 4 8 1 4 9 135 10 3 2 11 22 2 8xy 12 3 13 4 7 14 3 4 二 解答题 15 1 在PBC 中 因为 M N 分别为棱 PB PC 的中点 所以 MN BC 3 分 又 MN 平面 AMN BC 平面 AMN 所以 BC 平面 AMN 6 分 2 在PAB 中 因为APAB M 为棱 PB 的中点 所以AMPB 8 分 又因为平面 PAB 平面 PBC 平面 PAB平面 PBCPB AM 平面 PAB 所以AM 平面 PBC 12 分 又AM 平面 AMN 所以平面 AMN 平面 PBC 14 分 16 1 在中 由余弦定理 222 2cosbcbcAa 得 2 5 2022 525 5 bb 即 2 450bb 4 分 解得5b 或1b 舍

4、所以5b 6 分 2 由 5 cos 5 A 及0A 得 22 52 5 sin1cos1 55 AA 8 分 所以 210 coscos cos cossin 4210 CABAAA 又因为0C 所以 22 103 10 sin1cos1 1010 CC 从而 3 10 sin10 tan3 cos 10 10 C C C 12 分 所以 22 2tan233 tan2 1tan134 C C C 14 分 17 1 在SAO 中 2222 534SOSAAO 2 分 由 1 SNO SAO 可知 1 SOr SOR 所以 1 4 3 SOr 4 分 所以 1 4 4 3 OOr 所以 223 144 4 3 03 339 V rrrrrr 7 分 2 由 1 得 23 4 3 03 9 V rrrr 所以 2 4 63 9 V rrr 令 0V r 得2r 9 分 当 0 2 r 时 0V r 所以 V r 在 0 2 上单调递增 当 2 3 r 时 0V r 所以 V r 在 2 3 上单调递减 所以当2r 时 V r 取得最大值 16 2 9 V 答 小圆锥的体积V的最大值为

5、16 9 14 分 18 1 直线 l 的方程为 axky 即0 akykx 因为直线 l 与圆 222 byxO 相切 所以b k ak 1 2 故 22 2 2 ba b k 所以椭圆C的离心率 2 22 1 1 1 b e ak 4 分 2 设椭圆C的焦距为2c 则右准线方程为 2 a x c 由 c a x axky 2 得 c aca ka c a ky 22 所以 22 c acak c a Q 6 分 由 1 2 2 2 2 axky b y a x 得02 2224232222 bakaxkaxkab 解得 222 223 kab abka xp 则 222 2 222 223 2 kab kab a kab abka kyp 所以 2 222 2 222 223 kab kab kab abka P 10 分 因为0 OQOP 所以0 2 222 22 222 2232 kab kab c acak kab abka c a 即 2 22222 cakbbkaa 12 分 由 1 知 22 2 2 ba b k 所以 22 4 2 22 22 2 ba cab b b

6、a ba a 所以caa22 即ca2 所以 2 1 a c 故椭圆C的离心率为 2 1 16 分 19 1 2 11 1 lnfxxa x x x 因为曲线 yf x 在点 1 1 f处的切线方程为10 xy 所以 1 11fa 得0a 2 分 2 因为 2 1ln axx fx x 存在两个不相等的零点 所以 1lng xaxx 存在两个不相等的零点 则 1 g xa x 当0a 时 0g x 所以 g x单调递增 至多有一个零点 4 分 当0a 时 因为当 1 0 x a 时 0g x g x单调递增 当 1 x a 时 0g x g x单调递减 所以 1 x a 时 max 11 ln 2g xg aa 6 分 因为 g x存在两个零点 所以 1 ln 20 a 解得 2 e0a 7 分 因为 2 e0a 所以 21 e1 a 因为 1 10ga 所以 g x在 1 0 a 上存在一个零点 8 分 因为 2 e0a 所以 211 aa 因为 22111 ln 1g aaa 设 1 t a 则 2 2ln1 e yttt ABC A P N M C B 数学试卷答案 第 2 页

7、共 2 页 因为 2 0 t y t 所以 2 2ln1 e yttt 单调递减 所以 222 2ln ee13e0y 所以 22111 ln 10g aaa 所以 g x在 1 a 上存在一个零点 综上可知 实数a的取值范围为 2 e 0 10 分 3 当2a 时 1 2 lnf xx x 22 11 121ln ln2 xx fxx x x xx 设 21lng xxx 则 1 20g x x 所以 g x单调递增 且 11 ln0 22 g 1 10g 所以存在 0 1 1 2 x 使得 0 0g x 12 分 因为当 0 0 xx 时 0g x 即 0fx 所以 f x单调递减 当 0 xx 时 0g x 即 0fx 所以 f x单调递增 所以 0 xx 时 f x取得极小值 也是最小值 此时 0000 000 111 2 ln 2 12 4 4f xxxx xxx 14 分 因为 0 1 1 2 x 所以 0 1 0 f x 因为 f x 且 为整数 所以1 即 的最大值为1 16 分 20 1 由 1 1 nn aka 1 3a 可知 2 31ak 2 3 31akk 因为

8、 1 n a 为等比数列 所以 2 213 1 1 1 aaa 即 22 32 2 32 kkk 即 2 31080kk 解得2k 或 4 3 k 2 分 当 4 3 k 时 1 4 3 3 3 nn aa 所以3 n a 则12 n a 所以数列 1 n a 的公比为 1 不符合题意 当2k 时 1 12 1 nn aa 所以数列 1 n a 的公比 1 1 2 1 n n a q a 所以实数k的值为2 4 分 2 由 1 知12n n a 所以 4 n n nn b n 为奇数 为偶数 则 2 2 41 4 43 4 4 21 4m m Sm 2 41 43 4 21 444mm 1 44 4 3 m mm 6 分 则 2122 44 4 3 m mmm SSbmm 因为 22 1 324m mm bbm 又 222 322 1 3420 m mmmm bbbb 且 23 50bb 1 30b 所以 21 0 m S 则 2 0 m S 设 2 21 0 m t m S bt S N 8 分 则1 3t 或t为偶数 因为 3 1b 不可能 所以1t 或t为偶数 当 2 1 21 m m S b S 时 1 44 4 3 3 44 4 3 m m mm mm 化简得 2 624844 m mm 即 2 42mm 0 所以m可取值为 1 2 3 验证 624 135 787 3 323 SSS SSS 得 当2m 时 4 1 3 S b S 成立 12 分 当t为偶数时 1 2 2 21 44 4 33 1 443124 4 1 3 4 m m m m m mm S S mm mm 设 2 3124 4 m m mm c 则 2 1 1 94221 4 mm m mm cc 由 知3m 当4m 时 54 5 3 0 4 cc 当4m 时 1 0 mm cc 所以 456 ccc 所以 m c的最小值为 5 19 1024 c 所以 2 21 3 015 19 1 1024 m m S S 令 2 2 21 4 m m S b S 则 2 3 14 3124 1 4m mm 即 2 31240mm 无整数解 综上 正整数 m 的值2 16 分

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