2020年中考数学考点05 一元二次方程

1、考点05 一元二次方程一、一元二次方程的概念1一元二次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程2一般形式（其中为常数，），其中分别叫做二次项、一次项和常数项，分别称为二次项系数和一次项系数注意：（1）在一元二次方程的一般形式中要注意，因为当时，不含有二次项，即不是一元二次方程；（2）一元二次方程必须具备三个条件：必须是整式方程；必须只含有一个未知数；所含未知数的最高次数是2二、一元二次方程的解法1直接开平方法适合于或形式的方程2配方法（1）化二次项系数为1；（2）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项；（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）把方程整理成的形式；（5）运用直接开平方法解方程3公式法（1）把方程化为一般形式，即；（2）确定的值；（3）求出的值；（4）将的值代入即可4因式分解法基本思想是把方程化成的形式，可得或三、一元二次方程根的判别式及根与系数关系1根的判别式一元二次方程是否有实数根，由的符号来确定，我们把叫做一元二次方程根的判别式2一元二次方程根的情况与判别式的关系（1）当时，方程有两个不相等的实数根；（2）当时，方

2、程有1个（两个相等的）实数根；（3）当时，方程没有实数根3根与系数关系对于一元二次方程（其中为常数，），设其两根分别为，则，四、利用一元二次方程解决实际问题列一元二次方程解应用题步骤和列一元一次方程(组)解应用题步骤一样，即审、设、列、解、验、答六步列一元二次方程解应用题，经济类和面积类问题是常考内容1增长率等量关系（1）增长率=增长量基础量（2）设为原来量，为平均增长率，为增长次数，为增长后的量，则；当为平均下降率时，则有2利润等量关系（1）利润=售价成本（2）利润率=1003面积问题（1）类型1：如图1所示的矩形长为，宽为，空白“回形”道路的宽为，则阴影部分的面积为（2）类型2：如图2所示的矩形长为，宽为，阴影道路的宽为，则空白部分的面积为（3）类型3：如图3所示的矩形长为，宽为，阴影道路的宽为，则4块空白部分的面积之和可转化为 图1 图2 图3考向一 一元二次方程的概念一元二次方程必须具备三个条件：必须是整式方程；必须只含有一个未知数；所含未知数的最高次数是2典例1 【江西省赣州市蓉江新区潭东中学20192020学年九年级上学期期中数学试题】方程的二次项系数、一次项系数、常数项分

3、别为A，B，C，D，【答案】D【解析】可变形为：，二次项系数为：2，一次项系数为：，常数项为：，故选D【名师点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟记定义.1下列方程中，是关于的一元二次方程的是A（是实数）BCD考向二 解一元二次方程一元二次方程的常见解法及适用情形：一般形式：直接开平方法形如的方程，可直接开方求解，则，因式分解法可化为的方程，用因式分解法求解，则，配方法若不易于使用分解因式法求解，可考虑配方为，再直接开方求解公式法利用求根公式：典例2 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为_【答案】或【解析】因为是关于的一元二次方程的一个根，所以，即，整理得，解得，故的值是或典例3 用配方法解方程时，配方结果正确的是ABCD【答案】B【解析】因为，所以，即故选B2一元二次方程的解是_3方程的根是_考向三 一元二次方程根的判别式对于方程，若，方程有两个不相等的实数根；若，方程有两个相等的实数根；若，方程没有实数根典例4 【四川省成都市部分学校20192020学年九年级上学期期中数学试题】一元二次方程的根的情况是A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根C只有一个实数根D没有

4、实数根【答案】A【解析】对于方程，因为a=1，b=7，c=1，所以=（7）241（1）=530，所以方程有两个不相等的实数根.故选A.【名师点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，属于基本题型，熟练掌握一元二次方程根的判别式与方程根的个数的关系是关键.典例5 有两个一元二次方程：，其中，以下四个结论中，错误的是A如果方程有两个相等的实数根，那么方程也有两个相等的实数根B如果方程和方程有一个相同的实数根，那么这个根必定是C如果4是方程的一个根，那么是方程的一个根D方程的两个根的符号相异，方程的两个根的符号也相异【答案】B【解析】选项A，所以A正确；选项B，因为将分别代入方程，值相等，结合，可知B不正确；选项C，因为，即，故C正确；选项D，由根与系数关系可知D正确故选B4下列方程中，没有实数根的是ABCD5【安徽省芜湖市部分学校20192020学年九年级上学期期中数学试题】已知关于x的一元二次方程x2+（k+1）x+k=0（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根是正数，求k的取值范围考向四 根与系数关系设一元二次方程的两根分别为，则，典例6 若是方程的一个根，则的值为ABC

5、D【答案】A【解析】由根与系数的关系可得另一个根为，所以.故选A典例7 如果，是一元二次方程的两个实根，那么_【答案】【解析】由根与系数关系，可得，则6若方程的两根是，则的值为_7关于的方程的两个根是和，则的值为ABCD考向五 一元二次方程在实际问题中的应用列一元二次方程解实际问题的关键是找出题中的等量关系，利用等量关系列出方程其中分析实际问题是解决问题的前提和基础，解一元二次方程是重要方法和手段，并注意解出的方程的解是否符合实际问题典例8 【山东省滨州市博兴县20192020学年九年级上学期期中数学试题】某地区2018年投入教育经费万元，预计2020年投入万元，设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为，由题意可列方程为_【答案】【解析】由题意得，故答案为.【名师点睛】本题考查一元二次方程的应用，掌握增长率问题的方程形式是关键.典例9 经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为，根据题意可列方程是_【答案】【解析】由题意可得8某商店今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是4.5万元，从1月份到3月份，该店销售额平均每月的增长率是A20%

6、B25%C50%D62.5%9【湖北省孝感市云梦县20192020学年九年级上学期期中数学试题】如图是一张长12dm，宽6dm的长方形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的边长为xdm的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体纸盒（1）无盖方盒盒底的长为_dm，宽为_dm（用含x的式子表示）（2）若要制作一个底面积是40dm2的一个无盖长方体纸盒，求剪去的正方形边长x1关于的一元二次方程（a21）23x+a2+3a4=0的一个根为0，则的值是ABC4或D或2方程2=的根是A1B1C0和1D03已知关于x的一元二次方程（k+1）x2+2x1=0有实数根，则k的取值范围是Ak2Bk2且k1Ck2Dk24用“配方法”解一元二次方程x216x+24=0，下列变形结果，正确的是A（x4）2=8B（x4）2=40C（x8）2=8D（x8）2=405同学聚会，每两人都握手一次，共握手45次，设x人参加聚会，列方程为Ax（x1）=45Bx（x1）=Cx（x1）=45Dx（x+1）=456制造某种产品成本100元，计划经过两年成本降低为64元，则平均每年降低A18%B20%C36%D以上答案均错

7、7一个大正方形内放入两个同样大小的小正方形纸片，按如图1放置，两个小正方形纸片的重叠部分面积为4；按如图2放置（其中一小张正方形居大正方形的正中），大正方形中没有被小正方形覆盖的部分（阴影部分）的面积为44，则把两张小正方形按如图3放置时，两个小正方形重叠部分的面积为A11B12C20D248已知是方程x2+x3=0的两个实数根，则的值是A2023B2021C2020D20199若关于x的方程的三个根恰好可以成为某直角三角形的三边长，则m的值为A24B15C15或24D无解10关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是ABCD11已知为常数，点在第二象限，则关于的方程根的情况是A有两个相等的实数根B有两个不相等的实数根C没有实数根D无法判断12关于的一元二次方程的两个实数根互为相反数，则的值为ABCD或13如果是方程的一个根，则此方程的另一根为ABCD14设，是方程的两根，则代数式的值是ABC D15若关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，则ABCD16已知一元二次方程的两根分别为，则的值为ABCD172018年某市人民政府投入1000万元用于改造乡村小学班班通工程建设，计划到2020年再追加投资210万元，如果每年的平均增长率相同，那么该市这两年该项投入的平均增长率为A10%B8%C1.21%D12.1%18已知一次函数y=kx+b的大致图象如图所示，则关于x的一元二次方程x22x+kb+1=0的根的情况是A有两个不相等的实数根 B没有实数根C有两个相等的实数根 D有一个根是019用配方法解方程x2+6x5=0时，应该变形为_20【江苏省常州市常州市新北区实验学校20192020学年九年级上学期期中数学试题】关于x的方程是一元二次方程，则a=_21已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是_22在一次聚会中，参加聚会的人每两位都相互握一次手，一共握手28次，设参加聚会有人，则可列方程_23若x=1是方程x2+px+q=0的解，则pq的值是_24方程的两根为，则=_25设，是方程的两实数根，则_26解下列方程：（1）；（2）；

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