海南省2020届高三年级摸底数学试题（解析版）

1、海南中学2020届高三年级摸底考试数学试题（考试用时为120分钟，满分分值为150分.）注意事项：1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.2.回答第卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效.3.回答第卷时，将答案写在答题卷上，写在本试卷上无效.第卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】利用一元二次不等式的解法化简集合，利用求值域得出集合，根据交集的定义可得.详解：因为集合，所以，故选A.点睛：本题主要考查了解一元二次不等式，求集合的交集，属于容易题，在解题过程中要注意交集时要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点，同时将不等式与集合融合，体现了知识点之间的交汇.2.是虚数单位，则复数在复平面上对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】，在复平面上对应的点位于

2、第三象限故选.3.已知点在幂函数图像上，设，则、的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【分析】根据点在幂函数上，可求得幂函数解析式，进而判断大小即可【详解】因为点在幂函数图像上所以，所以 即， ，即为R上的单调递增函数所以 所以选A【点睛】本题考查了指数幂与对数大小比较，函数单调性的简单应用，属于基础题4.某地区的高一新生中，来自东部平原地区的学生有2400人，中部丘陵地区的学生有1600人，西部山区的学生有1000人.计划从中选取100人调查学生的视力情况，现已了解到来自东部、中部、西部三个地区学生的视力情况有较大差异，而这三个地区男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ）A. 简单随机抽样B. 按性别分层抽样C. 系统抽样D. 按地区分层抽样【答案】D【分析】根据抽样方法的特征，即可得出结论.【详解】由于该地区东部、中部、西部三个地区学生的视力情况有较大差异，故按地区分层抽样.【点睛】本题主要考查抽样方法，熟记每种抽样方法的特征即可，属于基础题型.5.已知等差数列的前项和为，若，则（ ）A. 80B. 90C. 100D. 110【答案】B【

3、分析】利用等差，即可求解.【详解】根据等差数列前项和的片段和性质：也是等差数列，又，故可得：10,30,50成等差数列，故：，解得.故选：B.【点睛】本题考查等差数列前项和片段和性质.6.函数的图象大致是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为，所以函数的奇函数，排除答案A 、C ，又当时，函数单调递减，故排除答案B，应选答案D7.若为所在平面内任一点，且满足，则的形状为（ ）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 正三角形D. 等腰直角三角形【答案】A【分析】由，推出，可知三角形ABC的中线和底边垂直，则三角形ABC为等腰三角形.【详解】因为,即；,则三角形ABC的中线和底边垂直.所以是等腰三角形故选：A.【点睛】考查向量的运算和利用向量的方法判断空间线线垂直关系.知识点较为基础.8.从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为A. 48B. 72C. 90D. 96【答案】D【解析】因甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场比赛或甲学生不参加任何比赛当甲参加另外3场比赛时，共有=72种选择方案；当甲学生不参加任何

4、比赛时，共有=24种选择方案综上所述，所有参赛方案有72+24=96种故答案为96点睛：本题以选择学生参加比赛载体，考查了分类计数原理、排列数与组合数公式等知识，属于基础题9.已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如下图所示，则该凸多面体的体积（ ）A. B. 1C. D. 【答案】A【分析】根据平面展开图，还原几何体，将其拆分为正四棱锥和正方体即可求解对应的体积.【详解】根据平面展开图，还原几何体可得：故该几何体是由棱长为1的正方体和底边棱长为1的正四棱锥组合而成.则其体积为故选：A.【点睛】本题考查由展开图还原几何体，涉及几何体体积的求解.10.已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率为1的直线交椭圆于、两点，则的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【分析】求出直线方程，联立椭圆方程，求弦长；用点到直线距离公式求高；由面积公式求解.【详解】设直线AB方程为，联立椭圆方程整理可得：，设，故弦长=.由点到直线的距离公式可得：又点，直线AB：则点到直线AB的距离故.故选：C.【点睛】本题考查椭圆中三角形面积的问题，属基础知识题.11.，满足，且对任意，都有.当取

5、最小值时，函数的单调递减区间为（ ）.A. B. C. D. 【答案】A【分析】根据题意求出参数，再求三角函数的单调区间.【详解】因为，故关于对称，即：，解得. 又故,解得 由可得：令，则，又，故其最小值为6此时，又，故解得.综上所述：令解得：故选：A.【点睛】本题考查三角函数解析式的求解以及单调区间的求解；难点是求解析式，本题属于求解析式的复杂题.12.设函数是定义在上的偶函数，对任意，都有，且当时，若在区间内关于的方程恰有三个不同的实数根，则的取值范围是（ ）.A. B. C. D. 【答案】B【分析】将方程有三个根，转化为图像有三个交点，数形结合即可.【详解】有三个根，等价于与图像有三个交点，根据题意，是周期为4的周期函数，在同一直角坐标系中画出函数的图像，如下所示：由图可知，若满足题意，则在处的函数值小于3，且在处函数值大于3，故：，解得故选：B.【点睛】本题考查方程根的个数，涉及函数的周期性，单调性，属综合基础题.第卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量，若，则向量与向量的夹角为_【答案】【分析】由，利用数量积为零可求得，从而得，求得，利用，从而可得

6、结果.【详解】，则，即，解得，则，则，又，故答案为.【点睛】本题主要考查向量的夹角及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）.14.当时，不等式恒成立，则的取值范围是_.【答案】【分析】将不等式恒成立转化为最值问题，利用均值不等式求解即可.【详解】当时，不等式恒成立等价于在时恒成立即等价于；而因为，故,当且仅当时取得最大值.故：故答案为：.【点睛】本题考查二次函数在区间上的恒成立问题，分离参数，转化为最值问题，是一般思路；本题中还涉及利用均值不等式求最值.属综合题.15.已知，则的值为 .【答案】【解析】令，得，令，得，联立得：，故答案为.考点：二项式定理的应用.【方法点晴】本题考查二项式定理应用之通过赋值法求展开式的系数和问题，属于常规题，难度中等；常见的通法是通过赋值使得多项式中的变为和，在本题中要使即给等式中的赋值，求出展开式的常数项；要使即给等式中赋值求出展开式的各项系数和即，两式相减得到要求

7、的值16.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则_【答案】或【解析】设出两个切点坐标，利用导数的几何意义，以及过两点的直线斜率公式可列方程组，从而求出切点坐标，进而可得切线斜率.详解：设与，切于与，切于，则，由得，代入得，化为，得，故答案为或.点睛：应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2) 己知斜率求切点即解方程；(3) 巳知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知.(1)求的最小正周期及单调递减区间;(2)求函数在区间上的最大值和最小值.【答案】(1),单调递减区间为;(2)见解析【分析】（1）利用二倍角的正弦公式，余弦公式和两角和的正弦公式的逆用将函数解析式化为，然后利用正弦型函数的周期公式可得周期，利用正弦函数的递减区间可得的递减区间；（2）根据正弦函数的性质可得最大最小值.【详解】（1），的最小正周期.由，得，的单调递减区间为.（2），当，即时，函数取得最小值，为；当，即时，函数取得最大值，为.故函数在区间上的最大值为3，最小

8、值为0.【点睛】本题考查了二倍角的正弦，余弦公式，考查了两角和的正弦公式的逆用，考查了三角形函数的周期，单调区间，最值，属于中档题.18.已知正项数列的前项和为，满足，是等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1） （2）【分析】（1）由为等比数列，根据特殊的几项，结合已知，即可求解；（2）由（1）中所求得，再裂项求和即可.【详解】（1）设的公比为，由题知，且有：，所以：，即：，代入，得，所以或者（舍去）所以：，所以：由得：，所以：所以：所以：.（2）因为，所以，所以数列的前项和为【点睛】本题考查通项公式的求解，以及裂项相消求和法，属数列中综合基础题.19.“中国人均读书4.3本（包括网络文学和教科书），比韩国11本、法国的20本、日本的40本、犹太人的64本少得多，是世界上人均读书最少的国家.”这个论断被各种媒体反复引用，出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的，而且和其他国家相比，我国国民的阅读量如此之低，也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天40名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：，后得到如图所示的频率分布直方图.问：（1）估计在40名读书者中年龄分布在的人数；（2）求40名读书者年龄的平均数和中位数；（3）若从年龄在的读书者中任取2名，求这两名读书者年龄在的人数的分布列及数学期望.【答案】(1)30;(2)54,55;(3) 的分布列如下：012数学期望【解析】试题分析：（1）由频率分布直方图知年龄在40，70）的频率为（0.020+0.030+0.025）10，进而得出40名读书者中年龄分布在40，70）的人数（2）40名读书者年龄的平均数为250.05+350.1+450.2+550.3+650.25+750.1计算频率为处所对应的数据即可得出中位数（3）

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