高中数学人教课标实验A版必修2第二章寻找二面角的平面角的方法
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1、寻找二面角的平面角的方法二面角是高中立体几何中的一个重要内容，也是一个难点对于二面角方面的问题，学生往往无从下手，他们并不是不会构造三角形或解三角形，而是没有掌握寻找二面角的平面角的方法我们试将寻找二面角的平面角的方法归纳为以下六种类型一、根据平面角的定义找出二面角的平面角例1 在的二面角的两个面内，分别有和两点已知和到棱的距离分别为2和4，且线段，试求：（1）直线与棱所构成的角的正弦值；（2）直线与平面所构成的角的正弦值 分析：求解这道题，首先得找出二面角的平面角，也就是找出角在哪儿如果解决了这个问题，这道题也就解决了一半根据题意，在平面内作；在平面内作，连结、可以证明，则由二面角的平面角的定义，可知为二面角的平面角以下求解略二、根据三垂线定理找出二面角的平面角例2 如图，在平面内有一条直线与平面成，与棱成，求平面与平面的二面角的大小分析：找二面角的平面角，可过作；平面，连结由三垂线定理可证，则为二面角的平面角总结：（1）如果两个平面相交，有过一个平面内的一点与另一个平面垂直的垂线，可过这一点向棱作垂线，连结两个垂足应用三垂线定理可证明两个垂足的连线与棱垂直，那么就可以找到二面角的平
2、面角（2）在应用三垂线定理寻找二面角的平面角时，注意“作”、“连”、“证”，即“作”、“连结”、“证明”三、作二面角棱的垂面，垂面与二面角的两个面的两条交线所构成的角，即为二面角的平面角例3 如图1，已知为内的一点，于点，于点，如果，试求二面角的平面角图1图2 分析：平面因此只要把平面与平面、的交线画出来即可证明为的平面角，（如图2）注意：这种类型的题，如果过作，垂足为，连结，我们还必须证明，及为平面图形，这样做起来比较麻烦例4 已知斜三棱柱中，平面与平面构成的二面角的平面角为，平面与平面构成的二面角为试求平面与平面构成的二面角的大小分析：作三棱柱的直截面，可得，其三个内角分别为斜三棱柱的三个侧面两两构成的二面角的平面角总结：对棱柱而言，其直截面与各个侧棱的交点所形成的多边形的各个内角，分别为棱柱相邻侧面构成的二面角的平面角四、平移平面法例5 如图，正方体中，为的中点，为上的点，且设正方体的棱长为，求平面与底面构成的锐角的正切分析：本题中，仅仅知道二面角棱上的一点，在这种情况下，寻找二面角的平面角较困难根据平面平移不改变它与另一个平面构成的角的大小的原理，如果能把二面角中的一个平面平移
3、，找出辅助平面与另一个平面的交线，就可以作出二面角的平面角有了平面角之后，只需要进行常规构造三角形和解三角形的计算，就可以解决问题了如图，过点作与相交于点，过点作，与相交于点可证平面平面这样，求平面与平面的二面角的平面角就转化为求平面与平面的二面角的平面角显然为这两个平面的交线，过点作，为垂足，连结，可证则为本题要寻找的二面角五、找垂面，作垂线例6 如图，正方体中，为棱的中点，求平面和平面所构成的锐二面角的正切分析：平面与二面角的一个面垂直，与另一个平面相交，过点作，垂足为，过作，交于点，连结，由三垂线定理可证，则为二面角的平面角总结：当一个平面与二面角的一个平面垂直，与另一个平面相交时，往往过这个面上的一点作这两个垂直平面交线的垂线，再过垂足作二面角棱的垂线根据三垂线定理即可证明，并找出二面角的平面角再如图，要找所构成的二面角的平面角，可找平面，且，过上任何一点作，垂足为，过作，垂足为，连结，可证为的平面角六、根据特殊图形的性质找二面角的平面角1三线合一例7 如图，空间四边形中，试求二面角的余弦值分析：如图1，则和为等腰三角形过作，垂足为，连结根据三线合一，且为中点，可证，则为二面角的平面角2全等例8 如图，已知空间四边形，试求的余弦值分析：过作，垂足为，连结根据已知条件，和全等，可证，则为二面角的平面角3二面角的棱蜕化成一点例9 如图，四棱锥中，和与面垂直，为正三角形（1）若时，求面与面的夹角；（2）若时，求面与面的夹角分析：如图，面与面的交线蜕化成一点，但面与面与面相交如果三个平面两两相交，它们可能有三种情况：（1）交线为一点；（2）一条交线；（3）三条交线互相平行在图1中，两条交线与互相平行，所以肯定有过且平行于的一条交线可过作，平面与平面的交线即为过作于，过作于可证，则为面与面的夹角如图，与不平行且相交根据三个平面两两相交可能出现的三种情况，这三个面的交线为一点延长、相交于点，连结即为平面与平面的交线，通过一些关系可证为平面与平面的夹角通过以上分析和举例说明，寻找二面角的平面角的方法就比较容易了只要我们勤动脑，善观察，多总结，抓住问题的特征，找出适当的方法，关于二面角的平面角的问题就会迎刃而解
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