第七章 第5节 空间直角坐标系与空间向量
35页1、1 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 第5节 空间直角坐标系与空间向量 考试要求 1.了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标系刻画点的位置;2.借助 特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标,探索并得出空间两点间的距 离公式;3.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间 向量的正交分解及其坐标表示;4.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示;5.掌 握空间向量的数量积及其坐标表示,能用向量的数量积判断向量的共线和垂直. 2 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 知 识 梳 理 1.空间向量的有关概念 大小 名称定义 空间向量在空间中,具有_和_的量 相等向量方向_且模_的向量 相反向量方向_且模_的向量 共线向量 (或平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相_或_ 的向量 共面向量平行于_的向量 方向 相同相等 相反相等 平行重合 同一个平面 3 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 2.空间向量的有关定理 (1)共线向量定理:对空间任意两个向量a,b(b0),ab的充要条件是存在实数, 使得_. (2)共面向量定理:如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量
2、a,b共面的充要条件 是存在_的有序实数对(x,y),使p_. (3)空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在 有序实数组x,y,z,使得p_,其中,a,b,c叫做空间的一个 基底. ab 唯一 xayb xaybzc 4 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 3.空间向量的数量积及运算律 非零向量a,b的数量积ab|a|b|cosa,b. (2)空间向量数量积的运算律: 结合律:(a)b(ab); 交换律:abba; 分配律:a(bc)abac. 0, 互相垂直 5 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 4.空间向量的坐标表示及其应用 设a(a1,a2,a3),b(b1,b2,b3). a1b1a2b2a3b3 a1b1,a2b2,a3b3 a1b1a2b2a3b30 6 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 微点提醒 3.向量的数量积满足交换律、分配律,即abba,a(bc)abac成立,但不满足 结合律,即(ab)ca(bc)不一定成立. 4.若向量的投影向量是,则向量与向量垂直,当向量与向量起点相同时,终 点间的距离最小. 7 创新设计 考点聚集突破
3、知识衍化体验 基 础 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)空间中任意两非零向量a,b共面.( ) (2)对任意两个空间向量a,b,则ab0,则ab.( ) (3)若a,b,c是空间的一个基底,则a,b,c中至多有一个零向量.( ) (4)若ab0,则a,b是钝角.( ) 解析 对于(2),因为0与任何向量数量积为0,所以(2)不正确;对于(3),若a,b,c 中有一个是0,则a,b,c共面,所以(3)不正确;对于(4),若a,b,则 ab0,故(4)不正确. 答案 (1) (2) (3) (4) 8 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 答案 A 9 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 3.(选修21P118A6改编)已知a(cos ,1,sin ),b(sin ,1,cos ),则向量ab 与ab的夹角是_. 解析 ab(cos sin ,2,cos sin ), ab(cos sin ,0,sin cos ), (ab)(ab)(cos2 sin2 )(sin2 cos2 )0, 10 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 4.(2018济宁一中月考)在空间直角
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