第七章 第5节 空间直角坐标系与空间向量

1 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 第5节 空间直角坐标系与空间向量 考试要求 1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置；2.借助 特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距 离公式；3.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间 向量的正交分解及其坐标表示；4.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；5.掌 握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直. 2 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 知 识 梳 理 1.空间向量的有关概念 大小 名称定义 空间向量在空间中，具有_和_的量 相等向量方向_且模_的向量 相反向量方向_且模_的向量 共线向量 (或平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相_或_ 的向量 共面向量平行于_的向量 方向 相同相等 相反相等 平行重合 同一个平面 3 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 2.空间向量的有关定理 (1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是存在实数， 使得_. (2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件 是存在_的有序实数对(x，y)，使p_. (3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在 有序实数组x，y，z，使得p_，其中，a，b，c叫做空间的一个 基底. ab 唯一 xayb xaybzc 4 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 3.空间向量的数量积及运算律 非零向量a，b的数量积a·b|a|b|cosa，b. (2)空间向量数量积的运算律： 结合律：(a)·b(a·b)； 交换律：a·bb·a； 分配律：a·(bc)a·ba·c. 0， 互相垂直 5 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 4.空间向量的坐标表示及其应用 设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3). a1b1a2b2a3b3 a1b1，a2b2，a3b3 a1b1a2b2a3b30 6 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 微点提醒 3.向量的数量积满足交换律、分配律，即a·bb·a，a·(bc)a·ba·c成立，但不满足 结合律，即(a·b)·ca·(b·c)不一定成立. 4.若向量的投影向量是，则向量与向量垂直，当向量与向量起点相同时，终 点间的距离最小. 7 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 基 础 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“×”) (1)空间中任意两非零向量a，b共面.( ) (2)对任意两个空间向量a，b，则a·b0，则ab.( ) (3)若a，b，c是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量.( ) (4)若a·b0，则a，b是钝角.( ) 解析 对于(2)，因为0与任何向量数量积为0，所以(2)不正确；对于(3)，若a，b，c 中有一个是0，则a，b，c共面，所以(3)不正确；对于(4)，若a，b，则 a·b0，故(4)不正确. 答案 (1) (2)× (3)× (4)× 8 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 答案 A 9 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 3.(选修21P118A6改编)已知a(cos ，1，sin )，b(sin ，1，cos )，则向量ab 与ab的夹角是_. 解析 ab(cos sin ，2，cos sin )， ab(cos sin ，0，sin cos )， (ab)·(ab)(cos2 sin2 )(sin2 cos2 )0， 10 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 4.(2018·济宁一中月考)在空间直角坐标系中，A(1，2，3)，B(2，1，6)，C(3，2， 1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是( ) A.垂直 B.平行 C.异面 D.相交但不垂直 答案 B 11 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 5.(2019·北京四中月考)已知a(2，3，1)，b(4，2，x)，且ab，则|b|_. 解析 a·b2×(4)3×21·x0，x2， 12 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 13 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 考点一 空间向量的线性运算 14 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 (2)因为M是AA1的中点， 15 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 规律方法 (1)选定空间不共面的三个向量作基向量，这是用向量解决立体几何问 题的基本要求.用已知基向量表示指定向量时，应结合已知和所求向量观察图形， 将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行 四边形法则进行运算. (2)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量 ，我们把这个法则称为向量加法的多边形法则. 提醒 空间向量的坐标运算类似于平面向量中的坐标运算. 16 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 17 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 考点二 共线定理、共面定理的应用 【例2】 已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC， CD，DA的中点，用向量方法求证： (1)E，F，G，H四点共面； (2)BD平面EFGH. 18 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 因为E，H，B，D四点不共线， 所以EHBD. 又EH平面EFGH，BD平面EFGH， 所以BD平面EFGH. 19 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 20 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 21 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 22 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 考点三 空间向量的数量积及其应用 多维探究 角度1 数量积的坐标运算 【例31】 已知空间三点A(0，2，3)，B(2，1，6)，C(1，1，5). 23 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 24 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 角度2 数量积的线性运算 典例迁移 【例32】 (经典母题)如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1 ，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算： 25 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60°， 26 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 【迁移探究1】 本例的条件不变，求证：EGAB. 27 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 【迁移探究2】 本例的条件不变，求EG的长. 28 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 【迁移探究3】 本例的条件不变，求异面直线AG和CE所成角的余弦值. 29 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 30 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 【训练3】 如图所示，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端 点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°. (1)求AC1的长； (2)求证：AC1BD； (3)求BD1与AC夹角的余弦值. 31 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60°， 32 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 33 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 思维升华 1.利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表 示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题.其中合理选取基底是优化运算 的关键. 2.向量的运算有线性运算和数量积运算两大类，运算方法有两种，一种是建立空间坐 标系，用坐标表示向量，向量运算转化为坐标运算，另一种是选择一组基向量，用 基向量表示其它向量，向量运算转化为基向量的运算. 34 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 35 本节内容结束