【5年高考3年模拟】2019版数学(理)课件:8.4-空间角与距离、空间向量
185页1、8.4 空间角与距离、空间向量及其应用 高考理数 (课标专用) A组 统一命题课标卷题组 考点一 空间角与距离 1.(2018课标,12,5分)已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面所成的角都相等,则截 此正方体所得截面面积的最大值为( ) A. B. C. D. 五年高考 答案 A 本题主要考查空间直线与平面的位置关系及其所成角问题. 由正方体的性质及题意可得,正方体共顶点的三条棱所在直线与平面所成的角均相等.如图, 正方体ABCD-A1B1C1D1中,易知棱AB,AD,AA1所在直线与平面A1BD所成的角均相等,所以平 面A1BD,当平面趋近点A时,截面图形的面积趋近于0;当平面经过正方体的中心O时,截面图 形为正六边形,其边长为 ,截面图形的面积为6 = ;当平面趋近于C1时,截面 图形的面积趋近于0,所以截面图形面积的最大值为 ,故选A. 解题关键 利用正方体的性质,将每条棱所在直线与平面所成角转化为共顶点的三条棱所在 直线与平面所成角是解决本题的关键. 方法点拨 利用特殊位置与极限思想是解决选择题的常用方法. 2.(2018课标,9,5分)在长方体ABCD-A1B1C1D
2、1中,AB=BC=1,AA1= ,则异面直线AD1与DB1所 成角的余弦值为 ( ) A. B. C. D. 答案 C 本题考查异面直线所成的角. 解法一:如图,将长方体ABCD-A1B1C1D1补成长方体ABCD-A2B2C2D2,使AA1=A1A2,易知AD1B1C2, DB1C2或其补角为异面直线AD1与DB1所成的角. 易知B1C2=AD1=2,DB1= = ,DC2= = = .在DB1C2中,由余弦 定理的推论得cosDB1C2= = =- ,异面直线AD1与DB1所成角的余 弦值为 .故选C. 解法二:以A1为原点建立空间直角坐标系(如图),则A(0,0, ),D1(0,1,0),D(0,1, ),B1(1,0,0),所以 =(0,1,- ), =(1,-1,- ),所以cos= = = .故选C. 方法总结 常见的求异面直线所成角的方法 (1)通过平移找到异面直线所成的角或其补角,构造三角形,通过解三角形求解; (2)建立空间直角坐标系,由向量的夹角公式求解. 3.(2014课标,11,5分)直三棱柱ABC-A1B1C1中,BCA=90,M,N分别是A1B1,A1C1的
3、中点,BC=CA =CC1,则BM与AN所成角的余弦值为 ( ) A. B. C. D. 答案 C 解法一:取BC的中点Q,连接QN,AQ,易知BMQN,则ANQ或其补角即为所求, 设BC=CA=CC1=2, 则AQ= ,AN= ,QN= , cosANQ= = = = , 故选C. 设BC=CA=CC1=2,则A(2,0,2),N(1,0,0),M(1,1,0),B(0,2,2), =(-1,0,-2), =(1,-1,-2), cos= = = = ,故选C. 解法二:以C1为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系, 4.(2016课标,11,5分)平面过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,平面CB1D1,平面ABCD= m,平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为 ( ) A. B. C. D. 答案 A 如图,延长B1A1至A2,使A2A1=B1A1,延长D1A1至A3,使A3A1=D1A1,连接AA2,AA3,A2A3,A1B,A1 D.易证AA2A1BD1C,AA3A1DB1C. 平面AA2A3平面CB1D1,即平面AA2A3为平面. 于是mA2A3,直线AA2
4、即为直线n.显然有AA2=AA3=A2A3,于是m、n所成的角为60,其正弦值为 .选A. 思路分析 先利用平行关系作出平面,进而确定直线m与直线n的位置,然后求m,n所成角的正 弦值. 疑难突破 本题的难点是明确直线m、n的具体位置.为此适当扩形是常用策略. 5.(2018课标,19,12分)如图,边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧 所在平面垂直,M 是 上异于C,D的点. (1)证明:平面AMD平面BMC; (2)当三棱锥M-ABC体积最大时,求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值. 解析 本题考查面面垂直的判定、二面角的计算、空间向量的应用. (1)由题设知,平面CMD平面ABCD,交线为CD.因为BCCD,BC 平面ABCD,所以BC平面 CMD,故BCDM. 因为M为 上异于C,D的点,且DC为直径,所以DMCM. 又BCCM=C,所以DM平面BMC. 而DM 平面AMD,故平面AMD平面BMC. (2)以D为坐标原点, 的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz. 当三棱锥M-ABC体积最大时,M为 的中点.由题设得D(0,0,0),A(2,0,0)
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