第七章 第2节 空间点、直线、平面的位置关系

1、1创新设计考点聚集突破知识衍化体验第2节空间点、直线、平面的位置关系考试要求1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义；2.了解四个公理和一个定理.2创新设计考点聚集突破知识衍化体验知识梳理1.平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的_在一个平面内，那么这条直线在此平面内.(2)公理2：过_的三点，有且只有一个平面.(3)公理3：如果两个不重合的平面有_公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.两点不在同一条直线上一个3创新设计考点聚集突破知识衍化体验2.空间点、直线、平面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行关系图形语言符号语言aba相交关系图形语言符号语言abAaAl独有关系图形语言符号语言a，b是异面直线a4创新设计考点聚集突破知识衍化体验3.平行公理(公理4)和等角定理平行公理：平行于同一条直线的两条直线_.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角_.4.异面直线所成的角(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的_叫做异面直线a与b所成的角

2、(或夹角).互相平行相等或互补锐角(或直角)5创新设计考点聚集突破知识衍化体验微点提醒1.公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面.2.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角.6创新设计考点聚集突破知识衍化体验基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)两个平面，有一个公共点A，就说，相交于过A点的任意一条直线.()(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.()(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.()(4)若直线a不平行于平面，且a，则内的所有直线与a异面.()7创新设计考点聚集突破知识衍化体验解析(1)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，故错误.(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，故错误.(4)由于a不平行于平面，且a，则a与平面相交，故平面内有与a相交的直线，故错误.答案(1)(2)(3)(4)8创新设计考点聚集

3、突破知识衍化体验2.(必修2P52B1(2)改编)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为()A.30B.45C.60D.90解析连接B1D1，D1C，则B1D1EF，故D1B1C为所求的角.又B1D1B1CD1C，D1B1C60.答案C9创新设计考点聚集突破知识衍化体验3.(必修2P45例2改编)已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是()A.梯形B.矩形C.菱形D.正方形解析如图所示，易证四边形EFGH为平行四边形，因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EFAC，又FGBD，所以EFG或其补角为AC与BD所成的角，而AC与BD所成的角为90，所以EFG90，故四边形EFGH为矩形.答案B10创新设计考点聚集突破知识衍化体验4.(2019聊城调研)是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m，n，且Am，A，则m，n的位置关系不可能是()A.垂直B.相交C.异面D.平行解析依题意，mA，n，m与n异面、相交(垂直是相交的特例)，一定不平行.答案D11创新设计考点聚集突破知识衍化体验5.

4、(一题多解)(2017全国卷)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是()12创新设计考点聚集突破知识衍化体验解析法一对于选项B，如图(1)所示，连接CD，因为ABCD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQCD，所以ABMQ，又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，所以AB平面MNQ.同理可证选项C，D中均有AB平面MNQ.因此A项中直线AB与平面MNQ不平行.图(1)图(2)法二对于选项A，其中O为BC的中点(如图(2)所示)，连接OQ，则OQAB，因为OQ与平面MNQ有交点，所以AB与平面MNQ有交点，即AB与平面MNQ不平行.答案A13创新设计考点聚集突破知识衍化体验6.(2018宁波月考)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有_条.解析在EF上任意取一点M，如图，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N，当M取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这3条异面直线都

5、有交点.故在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有无数条.答案无数14创新设计考点聚集突破知识衍化体验考点一平面的基本性质及应用【例1】如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点.求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点.15创新设计考点聚集突破知识衍化体验证明(1)如图，连接CD1，EF，A1B，因为E，F分别是AB和AA1的中点，又因为A1D1綉BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形.所以A1BCD1，所以EFCD1，所以EF与CD1确定一个平面.所以E，F，C，D1，即E，C，D1，F四点共面.16创新设计考点聚集突破知识衍化体验所以四边形CD1FE是梯形，所以CE与D1F必相交.设交点为P，则PCE平面ABCD，且PD1F平面A1ADD1，所以P平面ABCD且P平面A1ADD1.又因为平面ABCD平面A1ADD1AD，所以PAD，所以CE，D1F，DA三线共点.17创新设计考点聚集突破知识衍化体验规律方法1.证明点或线共面问题的两种方法：(1)首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线

6、(或点)在这个平面内；(2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合.2.证明点共线问题的两种方法：(1)先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；(2)直接证明这些点都在同一条特定直线(如某两个平面的交线)上.3.证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.18创新设计考点聚集突破知识衍化体验【训练1】如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BGGCDHHC12.(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线.19创新设计考点聚集突破知识衍化体验证明(1)E，F分别为AB，AD的中点，EFBD.GHBD，EFGH.E，F，G，H四点共面.(2)EGFHP，PEG，EG平面ABC，P平面ABC.同理P平面ADC.P为平面ABC与平面ADC的公共点.又平面ABC平面ADCAC，PAC，P，A，C三点共线.20创新设计考点聚集突破知识衍化体验考点二判断空间直线的位置关系【例2】(1)(一题多解)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面内，l2在平面内

7、，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是()A.l与l1，l2都不相交B.l与l1，l2都相交C.l至多与l1，l2中的一条相交D.l至少与l1，l2中的一条相交21创新设计考点聚集突破知识衍化体验(2)将图(1)中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线AD折起得到空间四面体ABCD，如图(2)，则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是()A.相交且垂直B.相交但不垂直C.异面且垂直D.异面但不垂直解析(1)法一由于l与直线l1，l2分别共面，故直线l与l1，l2要么都不相交，要么至少与l1，l2中的一条相交.若ll1，ll2，则l1l2，这与l1，l2是异面直线矛盾.故l至少与l1，l2中的一条相交.22创新设计考点聚集突破知识衍化体验法二如图(1)，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A，B不正确；如图(2)，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确.(2)折起前ADBC，折起后有ADBD，ADDC，所以AD平面BCD，所以ADBC.又AD与BC不相交，故AD与BC异面且垂直.答案(1)D(2)C23创新设计考点聚集突破知识衍化体验规律方法1

8、.异面直线的判定方法：(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面.(2)定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.2.点、线、面位置关系的判定，要注意几何模型的选取，常借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系.24创新设计考点聚集突破知识衍化体验【训练2】(1)(2018湘潭调研)下图中，G，N，M，H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有()A.B.C.D.25创新设计考点聚集突破知识衍化体验(2)已知空间三条直线l，m，n，若l与m异面，且l与n异面，则()A.m与n异面B.m与n相交C.m与n平行D.m与n异面、相交、平行均有可能解析(1)由题意，可知题图中，GHMN，因此直线GH与MN共面；题图中，G，H，N三点共面，但M平面GHN，因此直线GH与MN异面；题图中，连接MG，则GMHN，因此直线GH与MN共面；题图中，连接GN，G，M，N三点共面，但H平面GMN，所

9、以直线GH与MN异面.故选C.26创新设计考点聚集突破知识衍化体验(2)在如图所示的长方体中，m，n1与l都异面，但是mn1，所以A，B错误；m，n2与l都异面，且m，n2也异面，所以C错误.故选D.答案(1)C(2)D27创新设计考点聚集突破知识衍化体验考点三异面直线所成的角多维探究角度1求异面直线所成的角或其三角函数值28创新设计考点聚集突破知识衍化体验解析法一如图，连接BD1，交DB1于O，取AB的中点M，连接DM，OM.易知O为BD1的中点，所以AD1OM，则MOD为异面直线AD1与DB1所成角.29创新设计考点聚集突破知识衍化体验答案C30创新设计考点聚集突破知识衍化体验角度2由异面直线所成角求其他量【例32】在四面体ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.若BD，AC所成的角为60，且BDAC1，则EF的长为_.解析如图，取BC的中点O，连接OE，OF.因为OEAC，OFBD，31创新设计考点聚集突破知识衍化体验规律方法用平移法求异面直线所成角的一般步骤：(1)作角用平移法找(或作)出符合题意的角；(2)求角转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出角的大小.【训练3】(2019杭州模拟)三棱锥ABCD的所有棱长都相等，M，N分别是棱AD，BC的中点，则异面直线BM与AN所成角的余弦值为()32创新设计考点聚集突破知识衍化体验解析连接DN，取DN的中点O，连接MO，BO，M是AD的中点，MOAN，BMO(或其补角)是异面直线BM与AN所成的

《第七章 第2节 空间点、直线、平面的位置关系》由会员sh****15分享，可在线阅读，更多相关《第七章 第2节 空间点、直线、平面的位置关系》请在金锄头文库上搜索。