2017-2018学期高中数学 第四章 导数应用章末复习课 北师大版选修1-1
45页1、章末复习课,第四章 导数应用,学习目标 1.掌握利用导数判断函数单调性的方法,会用导数求函数的极值和最值. 2.会用导数解决一些简单的实际应用问题.,题型探究,知识梳理,内容索引,当堂训练,知识梳理,1.函数的单调性与导数 在某个区间(a,b)内,如果 ,那么函数yf(x)在这个区间内是增加的;如果 ,那么函数yf(x)在这个区间内是减少的. 2.函数的极值与导数 (1)极大值:在点xa附近,满足f(a)f(x),当xa时, ,则点a叫作函数的极大值点,f(a)叫作函数的极大值; (2)极小值:在点xa附近,满足f(a)f(x),当xa时, ,则点a叫作函数的极小值点,f(a)叫作函数的极小值.,知识点一 函数的单调性、极值与导数,f(x)0,f(x)0,f(x)0,f(x)0,f(x)0,f(x)0,知识点二 求函数yf(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤,1.求函数yf(x)在(a,b)内的 . 2.将函数yf(x)的各极值与 比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.,极值,端点处函数值f(a),f(b),题型探究,类型一 导数中的数形结合思想,例1 已知函数yxf(x
2、)的图像如图所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数),则yf(x)的图像大致是,答案,解析,当00, f(x)0, 故yf(x)在(1,2)上为增函数,因此排除D.,研究一个函数的图像与其导函数图像之间的关系时,注意抓住各自的关键要素.对于原函数,要重点考查其图像在哪个区间内单调递增,在哪个区间内单调递减;而对于导函数,则应考查其函数值在哪个区间内大于零,在哪个区间内小于零,并考查这些区间与原函数的单调区间是否一致.,反思与感悟,答案,解析,又因为x0,所以(1x)(1x)0,所以01. 于是当01时,函数f(x)是减函数;,类型二 构造函数求解,答案,解析,命题角度1 比较函数值的大小,A.acb B.bca C.abc D.cab,令g(x)xf(x),则g(x)(x)f(x)xf(x),g(x)是偶函数. g(x)f(x)xf(x), 当x0时,xf(x)f(x)0. g(x)在(0,)上是减函数. g(x)是偶函数, 故选B.,本例中根据条件构造函数g(x)xf(x),通过g(x)确定g(x)的单调性,进而确定函数值的大小,此类题目的关键是构造出恰当的函数.,反思与感悟,跟踪
3、训练2 设f(x)、g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数,且f(x)g(x)f(x)g(x)f(b)g(b) B.f(x)g(a)f(a)g(x) C.f(x)g(b)f(b)g(x) D.f(x)g(x)f(a)g(a),答案,解析,命题角度2 求解不等式 例3 定义域为R的可导函数yf(x)的导函数f(x),满足f(x)2ex的解集为 A.(,0) B.(,2) C.(0,) D.(2,),答案,解析,f(x)0,即函数g(x)单调递增. f(0)2,g(0)f(0)2, 则不等式等价于g(x)g(0). 函数g(x)单调递增, x0,即不等式的解集为(0,),故选C.,根据所求结论与已知条件,构造函数g(x) ,通过导函数判断g(x)的单调性,利用单调性得到x的取值范围.,反思与感悟,跟踪训练3 函数f(x)的定义域为R,f(1)2,对任意xR,f(x)2,则f(x)2x4的解集为 A.(1,1) B.(1,) C.(,1) D.(,),答案,解析,令g(x)f(x)2x4,f(x)2, 则g(x)f(x)20. 又由g(1)f(1)2(1)40, 得g(x)0,即g(x)g
4、(1)的解为x1, f(x)2x4的解集为(1,).,类型三 利用导数研究函数的极值与最值,例4 已知函数f(x)x3ax2b的图像上一点P(1,0),且在点P处的切线与直线3xy0平行. (1)求函数f(x)的解析式;,解答,因为f(x)3x22ax,曲线在P(1,0)处的切线斜率为f(1)32a, 即32a3,a3. 又函数过(1,0)点,即2b0,b2. 所以a3,b2,f(x)x33x22.,(2)求函数f(x)在区间0,t(0t3)上的最大值和最小值;,解答,由f(x)x33x22,得f(x)3x26x. 由f(x)0,得x0或x2. 当0t2时,在区间(0,t)上,f(x)0,f(x)在0,t上是减函数, 所以f(x)maxf(0)2,f(x)minf(t)t33t22. 当2t3时,当x变化时,f(x)、f(x)的变化情况如下表:,f(x)minf(2)2, f(x)max为f(0)与f(t)中较大的一个. 因为f(t)f(0)t33t2t2(t3)0, 所以f(x)maxf(0)2.,(3)在(1)的结论下,关于x的方程f(x)c在区间1,3上恰有两个相异的实根,求实数
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