平方差公式与完全平方公式试题(含答案)1[1]-2
27页1、乘法公式的复习一、复习:(a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 (a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3 (a-b)(a2+ab+b2)=a3b3 归纳小结公式的变式,准确灵活运用公式: 位置变化,(x+y)(-y+x)=x2-y2 符号变化,(-x+y)(-x-y)=(-x)2-y2= x2-y2 指数变化,(x2+y2)(x2-y2)=x4-y4 系数变化,(2a+b)(2a-b)=4a2-b2 换式变化,xy+(z+m)xy-(z+m)=(xy)2-(z+m)2=x2y2-(z+m)(z+m)=x2y2-(z2+zm+zm+m2)=x2y2-z2-2zm-m2 增项变化,(x-y+z)(x-y-z)=(x-y)2-z2=(x-y)(x-y)-z2=x2-xy-xy+y2-z2=x2-2xy+y2-z2 连用公式变化,(x+y)(x-y)(x2+y2)=(x2-y2)(x2+y2)=x4-y4 逆用公式变化,(x-y+z)2-(x+y-z)2 =(x-y+z)+(x+y-z)(x-y+z)-(x+y-z) =2x(-2
2、y+2z) =-4xy+4xz例1已知,求的值。解: =, =例2已知,求的值。解: =, 例3:计算19992-20001998解析此题中2000=1999+1,1998=1999-1,正好符合平方差公式。解:19992-20001998 =19992-(1999+1)(1999-1) =19992-(19992-12)=19992-19992+1 =1例4:已知a+b=2,ab=1,求a2+b2和(a-b)2的值。解析此题可用完全平方公式的变形得解。解:a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2=2 (a-b)2=(a+b)2-4ab=4-4=0例5:已知x-y=2,y-z=2,x+z=14。求x2-z2的值。解析此题若想根据现有条件求出x、y、z的值,比较麻烦,考虑到x2-z2是由x+z和x-z的积得来的,所以只要求出x-z的值即可。解:因为x-y=2,y-z=2,将两式相加得x-z=4,所以x2-z2=(x+z)(x-z)=144=56。例6:判断(2+1)(22+1)(24+1)(22048+1)+1的个位数字是几?解析此题直接计算是不可能计算出一个数字的答案,故有一定的规律可
3、循。观察到1=(2-1)和上式可构成循环平方差。解:(2+1)(22+1)(24+1)(22048+1)+1 =(2-1)(22+1)(24+1)(22048+1)+1 =24096 =161024因为当一个数的个位数字是6的时候,这个数的任意正整数幂的个位数字都是6,所以上式的个位数字必为6。例7运用公式简便计算(1)1032 (2)1982解:(1)1032=(100+3)2 =1002+21003+32 =10000+600+9 =10609 (2)1982=(200-2)2 =2002-22002+22 =40000-800+4 =39204例8计算(1)(a+4b-3c)(a-4b-3c) (2)(3x+y-2)(3x-y+2)解:(1)原式=(a-3c)+4b(a-3c)-4b=(a-3c)2-(4b)2=a2-6ac+9c2-16b2 (2)原式=3x+(y-2)3x-(y-2)=9x2-( y2-4y+4)=9x2-y2+4y-4例9解下列各式(1)已知a2+b2=13,ab=6,求(a+b)2,(a-b)2的值。(2)已知(a+b)2=7,(a-b)2=4,求a2+b
4、2,ab的值。(3)已知a(a-1)-(a2-b)=2,求的值。(4)已知,求的值。分析:在公式(a+b)2=a2+b2+2ab中,如果把a+b,a2+b2和ab分别看作是一个整体,则公式中有三个未知数,知道了两个就可以求出第三个。解:(1)a2+b2=13,ab=6 (a+b)2=a2+b2+2ab=13+26=25 (a-b)2=a2+b2-2ab=13-26=1 (2)(a+b)2=7,(a-b)2=4 a2+2ab+b2=7 a2-2ab+b2=4 +得 2(a2+b2)=11,即 -得 4ab=3,即 (3)由a(a-1)-(a2-b)=2 得a-b=-2 (4)由,得 即 即 例10四个连续自然数的乘积加上1,一定是平方数吗?为什么?分析:由于1234+1=25=52 2345+1=121=112 3456+1=361=192 得猜想:任意四个连续自然数的乘积加上1,都是平方数。解:设n,n+1,n+2,n+3是四个连续自然数则n(n+1)(n+2)(n+3)+1 =n(n+3)(n+1)(n+2)+1 =(n2+3n)2+2(n2+3n)+1=(n2+3n)(n2+3n+
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