函数的连续性资料
14页1、第九节 函数的连续性和间断点有了极限的概念,我们就可以来讨论函数的一种重要特性连续性。首先,我们应注意到连续性也是客观现实的反映,是从许多自然现象的观察中抽象出来的一种共同特性。如气温随时间的变化而连续变化,铁棒长度随着温度的变化而连续变化等。它们的共同特性是:一方面在变化,另一方面是在逐渐变化的。可在很短一段时间内,的变化很小;同样当温度变化很小时,的变化也很小。这些现象反映在数学上就是自变量有一个微小的变化时,函数的变化也是微小的。下面我们就专门来讨论这种概念。一、函数的连续性 1. 预备知识改变量:设变量从它的一个初值变到终值,终值与初值的差,就叫的改变量,记作。改变量也叫增量。注意:,并不是可取值的起点和终点,而是变化过程中从变到。可正可负。是一个整体记号,不是某个量与变量的乘积。 2. 函数在处连续的定义定义1 当自变量在点的改变量为无穷小时,相应函数的改变量也是同一过程中的无穷小量,即,则称在处连续,见图1-37.定理1 在处连续的充要条图1-37件是。证明 由定义1,由定理1,我们可将定义1改写为以下定义2.定义2 如果,当时,有,则在处连续。3. 函数在点连续的要求在点
2、有意义,即有确定的函数值;存在;极限值函数值,即。这三要素缺一不可。4. 连续与极限的区别当在处有极限时,在处可无定义,也可有。而当在处连续时,在一定有意义并且必成立。所以,函数在点处连续,则函数在点处必有极限,反之不成立。5. 左右连续定义3 如果,则称在处右连续;如果,则称在处左连续。所以在处连续亦可用以下定义描述。定义4 若,即函数在点处左极限等于右极限等于函数值,则函数在点处连续。6. 在某区间连续在内连续是指,在处连续。在上连续是指在内连续,在点右连续,在点左连续。注意:证明分断点处的连续性时一定要用定义4.若在内连续,则称为的连续区间。7. 连续函数的几何意义连续函数的图形是一条不断开的曲线。例1 证明在处连续。证明 注意,所以1O1-1,从而在处连续。例2 讨论在处的连续性。解 因为 图1-38 ,所以。由定义4,在处连续,见图1-38.例3 证明多项式函数在内连续。证明 设。由极限运算法则知,由的任意性知在内连续。例4 证明有理函数(为次多项式,为次多项式),在点处处连续。证明 ,且,有,所以在其定义域内处处连续。例5 求证在内连续。证明 ,给一个增量,则,从而,所以在
3、点连续。由的任意性知在内连续。例6 证明在内连续。证明 ,有,所以,所以在内连续。二、函数的间断点与函数的连续性相对的概念是函数的间断性。1. 间断点的定义若在点处不连续,则称为的一个间断点。函数间断的几何解释是的图形在处断开。例7 讨论的间断点。O-22 解 注意 可见,所以在处不连续,即为的间断点。这种的间断点,我们称其为跳跃间断点,见图1-39. 2. 间断点的分类函数在处产生间断点是由于以下三种情况:在点无意义,即不存在;图1-39在点极限不存在,即不存在;极限值函数值,即。我们称左右极限都存在的间断点为第一类间断点;其余间断点统称为第二类间断点。进而,设为的第一类间断点,如果还有,则称为的可去间断点;如果有,则称为的跳跃间断点。下表给出了间断点的分类情况。3. 函数的连续区间讨论函数的连续区间,就是在其定义域内排除间断点,主要在分段点、端点来考虑是否为间断点。例8 研究在处的连续性。解 因为在处无意义,所以是间断点。又因为,即极限不存在,所以属第二类间断点,通常称其为无穷间断点,见图1-40.图1-40例9 讨论在点的连续性。1-1解 因为在处无意义,且不存在,所以为的第二类
4、间断点。这时,在-1和1内来回振荡,通常称其为振荡间断点,见图1-41.图1-41例10 讨论在点处的连续性。解 因为在处无意义,故为1间断点。但,从而可补充定义,则函数在定义域内处处连续。例11 讨论在点处的连续性,见图1-42.图1-42解 注意而,所以为第一类可去间断点,修改定义后,则函数处处连续,称函数为函数的连续延拓函数。习题1.91.设函数,试讨论在处的连续性。2.指出下列函数的间断点,并指明是哪一类间断点。(1); (2);(3); (4)3.设,问怎样补充定义,才能使在处连续。4.当为何值时,函数在点处连续。第十节 连续函数的运算与初等函数的连续性一、连续函数的运算1.连续函数的和仍然是连续函数定理1 有限个在某点连续的函数的和是一个在该点连续的函数。证明 以两个函数为例,设,均在点连续,考虑。由,以及和的极限等于极限的和,有所以在点连续。一般地,我们有,其中为有限正整数。2.连续函数的积仍然是连续函数定理2 有限个在某点连续的函数的乘积是一个在该点连续的函数。证明 以两个函数为例,设,均在点连续,考虑。注意到,以及积的极限等于极限的积,我们有,所以在点连续。一般地,我
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