水力学2-1

1、第二章 水静力学,水静力学研究流体的平衡规律，由平衡条件求静压强分布，并求静水总压力。 静止是相对于坐标系而言的，不论相对于惯性系或非惯性系静止的情况，流体质点之间肯定没有相对运动，这意味着粘性将不起作用，所以流体静力学的讨论不须区分流体是实际流体或理想流体。,第二章 流体静力学,21 静水压强及其特性,22 流体的平衡微分方程,24 非惯性系中液体的平衡,23 重力作用下的液体平衡,25 静止液体作用在物体表面上的总压力,法向应力沿内法线方向，即受压的方向（流体不能受拉）。这个法向应力称为静 水压强，记作 pn(x,y,z)，因目前还不知静压强是否与作用面方位有关，脚标中须标上作用面法线方向。,21 静水压强及其特性,静止流体的应力只有内法向分量 静压强,静止流体的应力只有法向分量（流体质点之间没有相对运动不存在切应力）。,Pn,n,静止流体中一点的应力,在这个表达式中，已包含了应力四要素：作用点、作用面、受力侧和作用方向。,静水压强的大小与作用面的方位无关,在静止流体中取出以 M 为顶点的四面体流体微元，它受到的质量力和表面力必是平衡的，以 y 方向为例，写出平衡方程,Y 是质量力

2、在 y 方向的分量,此时，pn，px，py，pz已是同一点（M点）在不同方位作用面上的静压强，其中斜面的方位 n 又是任取的，这就证明了静压强的大小与作用面的方位无关。,当四面体微元趋于M点时，即 注意到质量力比起压力为高阶无穷小，即得 pn=py，同理有 pn=px，pn=pz,静止流体的应力状态只须用一个静压强数量场 p = p(x, y, z) 来描述，有了这个静压强场，即可知道在任意一个作用点、以任意方位 n 为法向的面元上的应力为：,静压强 pn(x,y,z) 与作用面的方位无关，仅取决于作用点的空间位置，所以可将脚标去掉写成 p(x,y,z),22 流体的平衡微分方程,平衡微分方程的推导,表面力在 y 方向上的分量只有左右一对面元上的压力，合力为,o,在静止流体中取出六面体流体微元，分析其在 y 方向的受力。,微元所受 y 方向上的质量力为,o,平衡方程为,或,同理有,和,其中 X, Y, Z 是质量力 f 的三个分量。,称为静压强场的梯度。它 是数量场 p(x,y,z) 对应的一 个矢量场。,称为哈米尔顿算子,它同时具有矢量和微分（对跟随其后的变量）运算的功能。用它来表达

3、梯度，非常简洁，并便于记忆。,平衡微分方程的矢量形式,其中,的三个分量是压强在三个坐标轴方向的方向导数，它反映了数量场在空间上的不均匀性。 流体的平衡微分方程实质上表明了质量力和压差力之间的平衡。 压强对流体受力的影响是通过压差来体现的。,平衡微分方程的物理意义,23 重力作用下的液体平衡,一. 重力作用下的平衡方程,z 轴垂直向上，流体不可压缩。,二. 静压强分布规律,积分,重力场中连通的同种静止液体中： 压强随位置高程线性变化； 等压面是水平面，与质量力垂直； 是常数。,或,要知道静止流体中具体的压强分布，关键是知道其中某一点的压强，从而确定积分常数 C,若 z=z1 时, p=p1, 则,或,如果静止液体有自由面，将自由面作为基准面 z=0，自由面上的压强为 p0 ，则,若令 h= -z（向下为正），则,B,三. 绝对压强、相对压强、真空,A,绝对压强基准,A点绝对压强,B点真空压强,A点相对压强,B点绝对压强,相对压强基准,O,大气压强 pa,O,压强,压强 p记值的零点不同，有不同的名称：,以完全真空为零点，记为 pabs,绝对压强,两者的关系为: pr= pabs- pa,

4、以当地大气压 pa 为零点，记为 pr,相对压强为负值时，其绝对值称为真空压强。,相对压强,真空压强,B,A,绝对压强基准,A点绝对压强,B点真空压强,A点相对压强,B点绝对压强,相对压强基准,O,大气压强 pa,O,压强,今后讨论压强一般指相对压强，省略下标，记为 p，若指绝对压强则特别注明。,如果 z = 0 为静止液体的自由表面，自由表面上压强为大气压，则液面以下 h 处的相对压强为 h ，所以在液体指定以后高度也可度量压强，称为液柱高，例如：m(H2O)，mm(Hg) 等。特别地，将水柱高称为水头。把真空压强转换成水柱高表示，称为真空度。,一个工程大气压为 98.10 kN/m2，相当于 10 m(H2O) 或 736 mm(Hg),四. 位置水头、压强水头、测压管水头,在静水压强分布公式 中，各项都为长度量纲，称为水头（液柱高）。,在内有液体的容器壁选定测点，垂直于壁面打孔，接出一端开口与大气相通的玻璃管，即为测压管。,O,O,测压管内的静止液面上 p = 0 ，其液面高程即为 测点处的 ，所以 叫测压管水头。,测压管水头的含义,如果容器内的液体是静止的，一根测压管测得的测压

5、管水头也就是容器内液体中任何一点的测压管水头。如接上多根测压管，则各测压管中的液面都将位于同一水平面上。,O,O,测静压只须一根测压管,敞口容器和封口容器接上测压管后的情况如图,总势能,位置水头（势能）与压强水头（势能）可以互相转换，但它们之和 测压管水头（总势能）是保持不变的。,各项水头也可理解成单位重量液体的能量,位置势能，（从基准面 z = 0 算起铅垂向上为正。 ）,z,压强势能（从大气压强算起）,液体的平衡规律表明,五. 测压原理,测压管的一端接大气，这样就把测管水头揭示出来了。再利用液体的平衡规律，可知连通的静止液体区域中任何一点的压强，包括测点处的压强。,用测压管测量,A,如果连通的静止液体区域包括多种液体，则须在它们的分界面处作过渡。,即使在连通的静止流体区域中任何一点的压强都不知道，也可利用流体的平衡规律，知道其中任何二点的压差，这就是比压计的测量原理（又叫差压计）,用比压计测量,流体的平衡规律必须在连通的静止流体区域（如测压管中）应用，不能用到管道中去，因为管道中的流体可能是在流动的，测压管不只是为测量静压用的。,金属压力表内通常装有一根一端开口另一端封闭的镰刀状黄

6、铜管，开口端通过黄铜管与被测定压强的液体相连通，封闭端有传动装置和压力表表面的指针相连。,用金属压力表测量,施测时，黄铜管在液体的相对压强作用下伸展，就会带动有联动机构的指针。从指针所指的读数盘上的刻度，就可以读出压强的数值。,金属压力表的测量范围：从一个大气压以下的数值到几十、上百个大气压。,24 非惯性系中液体的平衡,一. 非惯性系中静止液体的平衡方程,惯性系中静止液体的平衡方程,非惯性系中静止液体的平衡方程,这样非惯性系中平衡方程在处理上就和惯性系没有区别了。,替代,用,表面力中仍无切应力,二. 两个例子,所有流体质点加速度大小、方向都相同，重力加上惯性力仍是均匀的，因此等压面还是平面，但不再是水平的，除非加速度在铅垂方向。,相对于匀加速直线运动坐标系静止的液体,质点加速度为向心加速度，沿水平径向，与质点离开轴的距离成正比，呈轴对称情况。单位质量流体的惯性力为离心加速度，与向心加速度反向，重力加上惯性力不再均匀，等压面成为旋转抛物面，由于离轴越远，离心力越大，所以等压面坡度越陡。,相对于绕铅垂轴匀速转动的坐标系静止的液体,如果铅垂方向只有重力作用（惯性力在铅垂方向无分量），那么铅

7、垂方向压强分布仍与自由面下垂直距离 h 成正比。,相对平衡原理可用来测量加速度或转速。,h,l,在已知静止液体中的压强分布之后，通过求解物体表面 A 上的矢量积分,25 静止液体作用在物体表面上的总压力,即可得到总压力，实际上这是一个数学问题。,完整的总压力求解包括其大小、方向 、作用点。,H,一. 静止液体作用在平面上的总压力,这是一种比较简单的情况，是平行力系的合成，即 作用力垂直于作用面，指向自己判断。,静压强在平面域 A 上分布不均匀，沿铅垂方向呈线性分布。,H,H,H,h,h,h,矩形平面单位宽度受到的静水总压力是压力分布图 AP 的面积。,矩形平面受到的静水总压力通过压力分布图的形心。,梯形压力分布图的形心距底,三角形压力分布图的形心距底,1. 压力图法求矩形平面上的静水总压力,总压力的大小,2. 分析法求任意形状平面上的静水总压力,矩形点C为受压面的形心，Pc为受压面形心的相对压强，hc为受压面形心在水面下的深度。,总压力的作用点,注意： 为受压面面积A对Ox轴的惯性矩。,根据惯性矩的平行移轴定理，有 为该受压面对通过它的形心点并与Ox轴平行的轴的惯性矩。,平面上静水压强的平均值为作用面（平面图形）形心处的压强。总压力大小等于作用面形心 C 处的压强 pC 乘上作用面的面积 A . 平面上均匀分布力的合力作用点将是其形心，而静压强分布是不均匀的，浸没在液面下越深处压强越大，所以总压力作用点位于作用面形心以下。,结论：,二. 静止液体作用在曲面上的总压力,由于曲面上各点的法向不同，对曲面 A 求解总压力 时，必须先分解成各分量计算，然后再合成。,h,H,三. 静止液体作用在物体上的总压力 浮力,静止液体作用在物体上总压力 浮力的大小等于物体所排开液体的重量，方向铅垂向上，作用线通过物体被液体浸没部分体积的形心 浮心。,阿基米德 定 律,

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