【2017年整理】第三章 离散傅立叶变换

1、第三章 离散傅立叶变换一、离散傅立叶级数计算题：1如果 是一个周期为N的周期序列，那么它也是周期为2N的周期序列。把)(nx看作周期为N的周期序列有 （周期为N） ；把 看作周期为2N的)()(1kXnx)(nx周期序列有 （周期为2N） ；试用 表示 。)()(2kXx ）（ ）（ kX2二、离散傅立叶变换定义填空题2某 DFT 的表达式是 ，则变换后数字频域上相邻两个频率样点之10)()(NkklMWxlX间的间隔是（ ） 。3某序列DFT的表达式是 ，由此可看出，该序列的时域长度是（ 10)()(NkklMxl） ，变换后数字频域上相邻两个频率样点之间隔是（ ） 。4如果希望某信号序列的离散谱是实偶的，那么该时域序列应满足条件（ ） 。 5采样频率为 的数字系统中，系统函数表达式中 代表的物理意义是 HzFs 1z） ，其中时域数字序列 的序号 代表的样值实际位置是（ ） ； 的N)(nx )(nx点DFT 中，序号 代表的样值实际位置又是（ ） 。)kX（ k6用8kHz的抽样率对模拟语音信号抽样，为进行频谱分析，计算了512点的DFT。则频域抽样点之间的频率间隔 为_,数字角

2、频率间隔 为 _和模拟角频率间隔fw_。判断说明题：7一个信号序列，如果能做序列傅氏变换对它进行分析，也就能做DFT对它进行分析。（ ）计算题8令 表示N点的序列 的N点离散傅里叶变换， 本身也是一个N点的序)(kX)(nx)(kX列。如果计算 的离散傅里叶变换得到一序列 ，试用 求 。1nxx)(1n9序列 ，其4点DFT 如下图所示。现将 按下列（1） ， （2） ，0,1)(nx)(kx)(nx（3）的方法扩展成8点，求它们8点的DFT？（尽量利用DFT的特性）（1） )4()nxy73（2） 0)(y0（3） 0)2()nxy奇 数偶 数10设 是一个2N点的序列，具有如下性质：()(nxN另设 ，它的N点DFT为 ，求 的2N点DFT 和)()1nRx)(1kX)(nx)(kX的关系。(kX11试求以下有限长序列的N点DFT（闭合形式表达式）（1） （2） )()(naxN )()(nRxN12计算下列序列的N点DFT： 16P（1） 0,)(xn（2） ， ，mN2cosNnm013已知一个有限长序列 )5()(nx（1） 求它的10点离散傅里叶变换 kX（2） 已知序列

3、的10点离散傅立叶变换为 ，求序列)(y )()(210kXWY)(ny（3） 已知序列 的10点离散傅立叶变换为 ，求序列nmMm14 （1）已知序列： ，求 的N 点DFT。102si)(nNx，)(nx（2）已知序列： ，则 的9点DFT是2,10nx， 其 它 )(nx正确否？用演算来证明你的结论。8,.9sin3)(2kekXkj ，15一个8点序列 的8点离散傅里叶变换 如图5.29所示。在 的每两个取样值)(x)(kX)(nx之间插入一个零值，得到一个16点序列 ，即ny为 奇 数为 偶 数02（1）求 的16点离散傅里叶变换 ，并画出 的图形。)(ny)(kY)(k（2）设 的长度N为偶数，且有 ，求 。)(kX 12,.0),1() NNXx01234567-1k123416计算下列有限长序列 的DFT，假设长度为N 。)(nx（1） a)( 1n（2） 1,32x17长度为8的有限长序列 的8点DFT为 ，长度为16的一个新序列定义为 )(nx)(kX15,3042)(y试用 来表示 。kX)()(nyDFTkY18 试计算 的离散傅里叶变换 的值304,21)(n

4、Nx若 )(x)(kX。),(k证明题：19设 表示长度为N的有限长序列 的DFT。)(kX)(nx（1）证明如果 满足关系式nx)1()Nx则 0)(X（2）证明当N为偶数时，如果)1()nxn则 0)(20令 表示N点序列 的N点离散傅里叶变换，kX)(x（1）证明如果 满足关系式 ，则 。)(n)1(nxn0)(X（2）证明当N为偶数时，如果 ，则 。)() )2(N简答题：21在离散傅里叶变换中引起混迭效应的原因是什么？怎样才能减小这种效应？22试说明离散傅里叶变换与Z变换之间的关系。三、离散傅立叶变换性质填空题：1已知序列 ，序列长度 ，写出序列3,210;,32kkx 4N的值（ ） 。)2(4RxN2已知 ，则 和,3210;,4,;1, knhkn nx的 5 点循环卷积为（ ） 。h3已知 则 的 4,;,1,32,0;,32 kkx hx和4点循环卷积为（ ） 。证明题：4试证N点序列 的离散傅立叶变换 满足Parseval 恒等式 nxkX210210NmNk5 是一个离散傅里叶变换对，试证明离散傅里叶变换的对称性： )(nXkx和1N6 长为N的有限长序列， 分

5、别为 的圆周共轭偶部及奇部，也即)(x )(,nxoe )(x*21)(*)( Nxnee )()nxNoo证明： )(Im)(ReKXjnxDFToe7若 NkxnkX)(,)( 求 证8若 ，求证 。Inx)(1)nRIFT9令 表示N点序列 的N点DFT，试证明：)(k)(x（a） 如果 满足关系式 ，则 。)1()xn0)(X（b） 当N为偶数时，如果 ，则 。(2N10设 ，求证 。)(kXnxDFT)()nxkXDFT11证明：若 为实偶对称，即 ，则 也为实偶对称。(nxk计算题：12已知 ，用圆周卷积法求 和)30()1(),30(1)( ynxn )(nx的线性卷积 。nyz13序列 ，序列 。,2)(为a,2)(为nb（1）求线性卷积 （2）若用基 2 FFT 的循环卷积法（快速卷积）来得到两个序列的线性卷积运算结果，FFT 至少应取多少点？14有限长为N=100的两序列01)(nx90n10)(ny98n做出 示意图，并求圆周卷积 及做图。)(,y )()(yxf15已知 是长度为N的有限长序列， ，现将 的每两点之间nx DFTkX)(nx补进 个零值，得到一个

6、长为 的有限长序列1rrN)(ny0)()rxny 1,0,in求：DFT 与 的关系。 ()(kX16已知 是N点有限长序列， 。现将长度变成 点的有限长)nx )()(nxDFTkXrN序列 (y0)(xn1rNn试求 点DFT 与 的关系。rN)(y)(kX17已知 是N点有限长序列， 。现将 的每两点之间补进nx )()(nxDFT)(x个零值点，得到一个 点的有限长序列1rry0)()nxynNir其 他 1,0,试求 点 DFT 与 的关系。rN()(kX18已知序列 和它的6点离散傅立叶变换)3()2(134) nx 。(kX（1）若有限长序列 的6点离散傅立叶变换为 ，求 。)(y )()(46kXWkY)(ny（2）若有限长序列 的6点离散傅立叶变换为 的实部，即 ，求nu RekXU。)(nu（3）若有限长序列 的3点离散傅立叶变换 ，求 。)(nv )2()kXV),10)(nv19令 表示N点序列 的N点DFT， 本身也是一个N点序列。如果计算)(kXx(的DFT得到一序列 ，试用 表示 。)(1)n)1x20为了说明循环卷积计算（用DFT算法） ，分别计算两矩

7、形序列 的卷积，)()(nRxN如果 ，求)(6nRx（1）两个长度为6点的6点循环卷积。（2）两个长度为6点的12点循环卷积。21设 是一个2N点序列，具有如下性质 )(x )(nxN10N另设 ，它的N 点DFT 为 。)(1nR)1kX求 得2N点 DFT 和 的关系。)(nxkX)(122已知某信号序列 ， ，试计算2,3f 2,43)(nh（2） 和 的循环卷积和 ；)(fhkf（3） 和 的线性卷积和 ；n)(（4）写出利用循环卷积计算线性卷积的步骤。23如图表示一个5点序列 。)(nx（1）试画出 )(nx（2）试画出501234123nx简答题：24试述用DFT计算离散线性卷积的方法。25已知 是两个N点实序列 的DFT值，今需要从 求)(,kYX)(,nyx )(,kYX的值，为了提高运算效率，试用一个N点IFFT运算一次完成。)(,nyx四、频域取样填空题：1从满足采样定理的样值信号中可以不失真地恢复出原模拟信号。采用的方法，从时域角度看是（ ） ；从频域角度看是（ ） 。2由频域采样 恢复 时可利用内插公式，它是用（ )(kX)(je）值对（ ）函数加权后求和。3

8、频域N点采样造成时域的周期延拓，其周期是（ ） 。简答题：4 已知有限长 序列 的 变换为 ，若对 在单位圆上等间隔抽样 点，nxz)(zX)(zM且 ，试分析此 个样点序列对应的 IDFT 与序列 的关系。NM 1nxx5FFT算法的基本思想是什么？6简述时域取样定理和频域取样定理的基本内容。计算题：7设 是长度为M 的有限长序列，其Z变换为)(nx 10)()(MnnZxX今欲求 在单位圆上N个等距离点上的采样值 ，其中Xk解答下列问题（用一个N点的FFT来算出全部的值）,1,0,2keZjk（1）当 时，写出用一个N点FFT分别算出 的过程；M和 )(kZX(2) 若求 的IDFT，说明哪一个结果和 等效，为什么 ?)(kZX)(nx8已知 ，今对其 z 变换 在单位圆上等分采样，采样值为10,anux，求有限长序列 IDFTkNWzk)( )(kX9研究一个长度为M点的有限长序列 ,nxnMx其 他,01)(我们希望计算求z变换 在单位圆上N个等间隔点上的抽样，即10)()(MnnzzX在 上的抽样。当 时，试找出只用一个N点DFT就能计,10,2NkeNj 算 的N个抽样的方法，并证明之。)(zX10已知序列： 。现在对它的Z变换在单位圆上进行N 等分取样，10),()(anux取样值为 ，求有限长序列 的IDFT。kNWzk )(kX11对有限长序列 的Z变换 在单位圆上进行5等份取样，得到取样,1)(xz值 ，即)(kX4,3205kzXW求 的逆傅里叶变换 。)(1nx12设下图所示的序列 的Z变换为 ，对 在单位圆上等间隔的4点上取样得)(zX)(到 ，即)(kX3,210,)(42kzXje试求 的4点离散傅里叶逆变换 ，并画出 的图形。)(1nx)(1nx01234567-1-21nx四、用离散傅立叶变换对连续时间信号逼近问题简答题：1理解DFT分析信号频谱中出现的现象以及改善这

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