山东高中数学 2.3.32.3.4 平面向量的坐标运算 平面向量共线的坐标表示课件
18页1、2.3.3 平面向量的坐标运算2.3.4 平面向量共线的坐标表示2.3 平面向量的基本定理及坐标表示第二章 平面向量问题提出 1.平面向量的基本定理是什么? 若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量, 则对于这一平面内的任意向量a,有且只有 一对实数1,2,使a1e12e2.2.用坐标表示向量的基本原理是什么?设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向 量,若axiyj,则a(x,y).3.用坐标表示向量,使得向量具有代数 特征,并且可以将向量的几何运算转化 为坐标运算,为向量的运算拓展一条新 的途径.我们需要研究的问题是,向量 的和、差、数乘运算,如何转化为坐标 运算,对于共线向量如何通过坐标来反 映等.探究(一):平面向量的坐标运算 思考1:设i、j是与x轴、y轴同向的两个 单位向量,若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 ax1iy1j,bx2iy2j,根据向量的线 性运算性质,向量ab,ab,a( R)如何分别用基底i、j表示?ab(x1x2)i(y1y2)j,ab(x1x2)i(y1y2)j, ax1iy1j.思考2:根据向量的坐标表示,向量 ab,ab,a的坐标分别如何?
2、ab(x1x2,y1y2); ab(x1x2,y1y2); a(x1,y1).ab(x1x2)i(y1y2)j,ab(x1x2)i(y1y2)j, ax1iy1j.思考3:如何用数学语言描述上述向量 的坐标运算? 两个向量和(差)的坐标分别等于这两 个向量相应坐标的和(差); 实数与向量的积的坐标等于用这个实数 乘原来向量的相应坐标.ab(x1x2,y1y2); ab(x1x2,y1y2); a(x1,y1).oxyBA思考4:如图,已知点A(x1,y1),B(x2,y2), 那么向量 的坐标如何?一般地,一个 任意向量的坐标如何计算? ( x2 x1 , y2 y1) .任意一个向量的坐标等于表示该向量 的有向线段的终点坐标减去始点坐标.思考5:在上图中,如何确定坐标为 (x2x1,y2y1)的点P的位置?oxyBAP(x2-x1,y2-y1)思考6:若向量a=(x,y),则|a|如何计 算?若点A(x1,y1),B(x2,y2),则 如何计算? AaxyO探究(二):平面向量共线的坐标表示 思考1:如果向量a,b共线(其中b0) ,那么a,b满足什么关系?思考2:设a=(x1,y1
3、),b=(x2,y2),若向 量a,b共线(其中b0),则这两个向量 的坐标应满足什么关系?反之成立吗? ab.向量a,b(b0)共线 axyObABCD思考3:如何用解析几何观点得出上述结 论?向量a,b(b0)共线 思考4:已知点P1(x1,y1),P2(x2,y2), 若点P分别是线段P1P2的中点、三等分点 ,如何用向量方法求点P的坐标?xyOP2P1PPP思考5:一般地,若点P1(x1,y1),P2(x2 ,y2),点P是直线P1P2上一点,且 ,那么点P的坐标有何计算公式?xyOP2P1P理论迁移例1 已知a=(2,1), b=(3,4),求 ab,ab,3a4b的坐标.ab(1,5),ab(5,3),3a4b(6,19). 例2 如图,已知 ABCD的三个顶点的 坐标分别是A(-2,1)、B(-1,3)、 C(3,4),试求顶点D的坐标.oxyABCDD(2,2) 例3 已知向量a=(4,2),b=(6,y), 且ab,求y的值.y3 例4 已知点A(-1,-1),B(1,3), C(2,5),试判断A、B、C三点是否共线 ?,A、B、C三点共线 . 小结作业 1. 向量的坐标运算是根据向量的坐标表 示和向量的线性运算律得出的结论,它 符合实数的运算规律,并使得向量的运 算完全代数化. 2.对于两个非零向量共线的坐标表示, 可借助斜率相等来理解和记忆. 3.利用向量的坐标运算,可以求点的坐 标,判断点共线等问题,这是一种向量 方法,体现了向量的工具作用.
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